Чем на самом деле является напряжение? Это способ описания и измерения напряженности электрического поля. Само по себе напряжение не может существовать без электронного поля вокруг положительных и отрицательных зарядов. Так же, как магнитное поле окружает Северный и Южный полюса. По современным понятиям, электроны не оказывают взаимного влияния. Электрическое поле – это нечто, что исходит от одного заряда и его присутствие может ощущаться другим. О понятии напряженности можно сказать то же самое! Просто это помогает нам представить, как электрическое поле может выглядеть. Честно говоря, оно не обладает ни формой, ни размером, ничем подобным. Но поле функционирует с определённой силой на электроны. На заряженный электрон, воздействует сила с некоторым ускорением, заставляя его перемещаться все быстрее и быстрее. Этой силой совершается работа по передвижению электрона. Силовые линии – это воображаемые очертания, которые возникают вокруг зарядов (определяется электрическим полем), и если мы поместим какой-либо заряд в эту область, он испытает силу. Свойства силовых линий: Почему у двух силовых линий не возникает пересечений? Потому что не бывает этого в реальной жизни. То, о чём говорится, является физической моделью и не более. Физики изобрели её для описания поведения и характеристик электрического поля. Модель очень хороша при этом. Но помня, что это всего лишь модель, мы должны знать о том, для чего такие линии нужны. Силовые линии демонстрируют: Если нарисованные силовые линии нашей модели пересекутся, расстояние меж ними станет бесконечно малыми. Из-за силы поля, как формы энергии, и из-за фундаментальных законов физики это невозможно. Потенциалом называется энергия, которая затрачивается на передвижение заряженной частицы из первой точки, имеющей нулевой потенциал во вторую точку. Разность потенциалов меж пунктами А и Б – это работа, производимая силами для передвижения некоего положительного электрона по произвольной траектории из А в Б. Чем больший потенциал у электрона, чем больше плотность потока на единицу площади. Такое явление подобно гравитации. Чем больше масса, тем больше потенциал, тем интенсивнее и плотнее гравитационное поле на единицу площади. Небольшой заряд с низким потенциалом, с прореженной плотностью потока показан на следующем рисунке. А ниже показан заряд с большим потенциалом и плотностью потока. Например: во время грозы электроны истощаются в одной точке и собираются в другой, образуя электрическое поле. Когда сила станет достаточной, чтобы сломать диэлектрическую проницаемость, получается удар молнии (состоящий из электронов). При выравнивании разности потенциалов электрическое поле разрушается. Это разновидность электрического поля, неизменного повремени, образуемого зарядами, которые не двигаются. Работа передвижения электрона определяется соотношениями, где r1 и r2 – расстояния заряда q до начальной и конечной точки траектории движения. По полученной формуле видно, что работа при перемещении заряда из точки в точку не зависит от траектории, а зависит лишь от начала и конца перемещения. На всякий электрон действует сила, и поэтому при перемещении электрона в поле выполняется определенная работа. В электростатическом поле работа зависит лишь от конечных пунктов следования, а не от траектории. Поэтому, когда движение происходит по замкнутому контуру, заряд приходит в исходное положение, и величина работы становится равной нулю. Это происходит потому, что падение потенциала нулевое (поскольку электрон возвращается в ту же самую точку). Так как разность потенциалов нулевая, чистая работа будет также нулевой, ведь потенциал падения равен работе, деленной на значение заряда, выраженное в кулонах. Однородным называется электрическое поле меж двух противоположно заряженных плоских металлических пластин, где линии напряженности параллельны между собой. Почему сила действия на заряд в таком поле всегда одинаковая? Благодаря симметрии. Когда система симметрична и есть только одна вариация измерения, всякая зависимость исчезает. Есть много других фундаментальных причин для ответа, но фактор симметрии – самый простой. Электрическое поле – это поток электронов от «+» до «-», приводящий к высокой напряженности области. Поток – это количество линий электрического поля, проходящих через него. В каком направлении будут положительные электроны двигаться? Ответ: по направлению электрического поля от положительного (высокого потенциала) к отрицательному (низкому потенциалу). Поэтому положительно заряженная частица будет двигаться именно в этом направлении. Интенсивность поля во всякой точке определяется как сила, воздействующая на положительный заряд, помещенный в эту точку. Работа заключается в переносе электронных частиц по проводнику. По закону Ома, можно определить работу разными вариациями формул, чтобы провести расчет. Из закона сохранения энергии следует, что работа – это изменение энергии на отдельном отрезке цепи. Перемещение положительного заряда против электрического поля требует совершения работы и в результате получается выигрыш в потенциальной энергии. Из школьной программы мы помним, что электрическое поле образуется вокруг заряженных частиц. На любой заряд в электрическом поле воздействует сила, и вследствие этого при движении заряда выполняется некоторая работа. Большим зарядом создается больший потенциал, который производит более интенсивное или сильное электрическое поле. Это означает, что возникает больший поток и плотность на единицу площади. Важный момент заключается в том, что должна быть выполнена определенной силой работа по перемещению заряда от высокого потенциала к низкому. Тем самым уменьшается разница заряда между полюсами. Перемещение электронов от токи до точки требует энергии. elektronchic.ru На любой заряд, который находится в электрическом поле, воздействует сила. В связи с этим при передвижении заряда в поле происходит определенная работа электрического поля. Как же произвести расчет этой работы? Работа электрического поля состоит в переносе электрозарядов вдоль проводника. Она будет равняться произведению напряжения, силы тока и времени, потраченного на работу. Применив формулу закона Ома, мы можем получить несколько различных вариантов формулы для проведения подсчета работы тока: A = U˖I˖t = I²R˖t = (U²/R)˖t. В соответствии с законом сохранения энергии работа электрического поля равняется изменению энергии отдельно взятого участка цепи, в связи с чем энергия, выделяемая проводником, будет равняться работе тока. Выразим в системе СИ: [А] = В˖А˖с = Вт˖с = Дж 1 кВт˖час = 3600000 Дж. Проведем опыт. Рассмотрим передвижение заряда в одноименном поле, которое образовано двумя параллельно расположенными пластинами А и В и заряженными разноименными зарядами. В таком поле силовые линии на всем своем протяжении перпендикулярны этим пластинам, и когда пластина А будет заряжена положительно, тогда напряженность поля Е будет направлена от А к В. Предположим, что позитивный заряд q передвинулся из точки a в точку b по произвольному пути ab = s. Так как сила, которая действует на заряд, который находится в поле, будет равняться F = qE, то работа, совершенная при передвижении заряда в поле согласно заданному пути, определится по равенству: A = Fs cos α, или A = qFs cos α. Но s cos α = d, где d – дистанция между пластинами. Отсюда следует: A = qEd. Допустим, теперь заряд q переместится из a и b по сути acb. Работа электрического поля, совершенная на этом пути, равняется сумме работ, совершенных на отдельных участках его: ac = s₁, cb = s₂, т.е. A = qEs₁ cos α₁ + qEs₂ cos α₂, A = qE(s₁ cos α₁ + s₂ cos α₂,). Но s₁ cos α₁ + s₂ cos α₂ = d, а значит, и в данном случае A = qEd. Кроме того, предположим, что заряд q передвигается из a в b по произвольной кривой линии. Чтобы подсчитать работу, совершенную на данном криволинейном пути, необходимо расслоить поле между пластинами А и В некоторым количеством параллельных плоскостей, которые будут настолько близки одна к другой, что отдельные участки пути s между данными плоскостями можно будет считать прямыми. В таком случае работа электрического поля, произведенная на каждом из данных отрезков пути, будет равняться A₁ = qEd₁, где d₁ - дистанция между двумя сопредельными плоскостями. А полная работа на всем пути d будет равняться произведению qE и суммы расстояний d₁, равной d. Таким образом, и в результате криволинейного пути совершенная работа будет равняться A = qEd. Примеры, рассмотренные нами, показывают, что работа электрического поля по перемещению заряда из какой-либо точки в другую не зависит от формы пути передвижения, а зависит исключительно от положения данных точек в поле. Кроме того, мы знаем, что работа, которая совершается силой тяжести при передвижении тела по наклонной плоскости, имеющей длину l, будет равняться работе, которую совершает тело при падении с высоты h, и высоте наклонной плоскости. Значит, работа силы тяжести или, в частности, работа при передвижении тела в поле тяжести, тоже не зависит от формы пути, а зависит только от разности высот первой и последней точек пути. Так можно доказать, что таким важным свойством может обладать не только однородное, а и всякое электрическое поле. Похожим свойством обладает и сила тяжести. Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда из одной точки в другую определяется линейным интегралом: A₁₂ = ∫ L₁₂q (Edl), где L₁₂ – траектория движения заряда, dl – бесконечно малое перемещение вдоль траектории. Если контур замкнутый, то для интеграла используется символ ∫; в этом случае предполагается, что выбрано направление обхода контура. Работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат первой и последней точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально. Стоит отметить, что работа любой консервативной силы по замкнутому пути будет равняться нулю. fb.ru § 12.3 Работа сил электростатического поля. Потенциал. Эквипотенциальные поверхности На заряд qпр помещённый в произвольную точку электростатического поля с напряжённостью Е, действует сила F= qпр E. Если заряд не закреплён, то сила заставит его перемещаться и, значит, будет совершаться работа. Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда qпр из точки а электрического поля в точку b на отрезке пути dℓ, по определению, равна dA = Fdℓcosα (α - угол между F и направлением движения) (рис.12.13). Если работа совершается внешними силами, то dA< 0 , если силами поля, то dA > 0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении qпр из точки a в точку b (12.20) Рисунок -12.13Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал. Работа поля
Работа электрического поля при перемещении заряда
Силы и их действие на заряженную частицу
Что такое потенциал?
Электростатическое поле
Об однородном электрическом поле
Работа по передвижению положительного заряда
Заключение
Работа электрического поля по перемещению заряда
Глава 12.3 . Работа электростатического поля. Потенциал
(- кулоновская сила, действующая на пробный зарядqпр в каждой точке поля с напряжённостью E).
Тогда работа
(12.21)
Перемещение совершается перпендикулярно вектору , следовательноcosα =1, работа переноса пробного заряда qпр от a к b равна
(12.22)
Работа сил электрического поля при перемещении заряда не зависит от формы пути, а зависит лишь от взаимного расположения начальной и конечной точек траектории.
Следовательно, электростатического поля точечного заряда является потенциальным , а электростатические силы – консервативными.
Это свойство потенциальных полей. Из него следует, что работа совершаемая в электрическом поле по замкнутому контуру, равна нулю:
(12.23)
Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряжённости электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах.
Как известно, работа консервативных сил совершается за счёт убыли потенциальной энергии. Поэтому, работу сил электростатического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд qпр в начальной и конечной точках поля заряда q:
(12.24)
откуда следует, что потенциальная энергия заряда qпр в поле заряда q равна
(12.25)
Для одноименных зарядов qпрq>0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноимённых зарядов qпрq< 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Если поле создаётся системой n точечных зарядов q1, q2, …. qn, то потенциальная энергия U заряда qпр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий Ui, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
(12.26)
Отношение не зависят от зарядаq и является энергетической характеристикой электростатического поля.
Скалярная физическая величина, измеряемая отношением потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называется потенциалом электростатического поля.
(12.27)
Потенциал поля, создаваемый точечным зарядом q, равен
(12.28)
Единица потенциала – вольт.
Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда qпр из точки 1 в точку 2 может быть представлена как
(12.29)
т.е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.
Разность потенциалов двух точек электростатического поля φ1-φ2 равна напряжению. Тогда
Отношение работы, совершаемой электростатическим полем при перемещении пробного заряда из одной точки поля в другую, к величине этого заряда называется напряжением между этими точками.
(12.30)
Графически электрическое поле можно изображать не только с помощью линий напряжённости, но и с помощью эквипотенциальных поверхностей.
Эквипотенциальные поверхности – совокупность точек, имеющих одинаковый потенциал. Из рисунка видно, что линии напряжённости (радиальные лучи) перпендикулярны эквипотенциальным линиям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленноемножество (рис.12.14). Однако их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряжённость поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряжённость поля больше. Зная расположение эквипотенциальных линий (поверхностей), можно построить линии напряжённости или по известному расположению линий напряжённости можно построить эквипотенциальные поверхности.
§ 12.4 Связь напряжённости и потенциала
Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую (напряжённость) и энергетическую (потенциал). Напряжённость и потенциал – различные характеристики одной и той же точки поля, следовательно, между ними должна быть связь.
Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х1– х2 = dx , равна qЕхdx. Та же работа равна q(φ1 - φ2 )= -dφq. Приравнивая оба выражения, можем записать
Ехdx = -dφ
Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :
где - единичные векторы координатных осей х, у,z.
Из определения градиента следует, что
или (12.31)
т.е. напряжённость поля Е равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряжённости Е поля направлен в сторону убывания потенциала.
Установленная связь между напряжённостью и потенциалом позволяет по известной напряжённости поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.
Напряжённость поля вне сферы определяется по формуле
(r >R)
Разность потенциалов между точками r1 и r2 (r1>R; r2 >R ) определим, используя соотношение
Потенциал сферы получим, если r1= R, r2 → ∞:
Напряжённость поля вне цилиндра (r >R) определяется формулой
(τ – линейная плотность).
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 (r1>R; r2 >R ) от оси цилиндра, равна
(12.32)
Напряжённость поля этой плоскости определяется формулой
(σ - поверхностная плотность).
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии х1 и х2 от плоскости, равна
(12.33)
Напряженность поля этих плоскостей определяется формулой
Разность потенциалов между плоскостями равна
(12.34)
(d – расстояние между плоскостями).
Примеры решения задач
Пример 12.1. Три точечных заряда Q1=2нКл, Q2 =3нКл и Q3=-4нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a=10см. Определите потенциальную энергию этой системы.
Дано: Q1=2нКл=2∙10-9Кл; Q2 =3нКл=3∙10-9Кл; и Q3=-4нКл=4∙10-9Кл; a=10см=0,1м.
Найти: U.
Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна алгебраической сумме энергий взаимодействия каждой из взаимодействующих пар зарядов, т.е.
U=U12+U13+U23
где соответственно потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в поле другого заряда на расстоянии а от него, равны
; ;(2)
Подставим формулы (2) в выражение (1), найдём искомую потенциальную энергию системы зарядов
Ответ: U=-0,126мкДж.
Пример 12.2. Определите потенциал в центре кольца с внутренним радиусом R1=30см и внешним R2=60см, если на нём равномерно распределён заряд q=5нКл.
Дано: R1=30см=0,3м; R2=60см=0,6м; q=5нКл=5∙10-9Кл
Найти: φ.
Решение: Кольцо разобьём на концентрические бесконечно тонкие кольца внутренним радиусом r и внешним – (r+dr).
Площадь рассматриваемого тонкого кольца (см.рисунок) dS=2πrdr.
Потенциал в центре кольца, создаваемый бесконечно тонким кольцом,
где – поверхностная плотность заряда.
Для определения потенциала в центре кольца следует арифметически сложить dφ от всех бесконечно тонких колец. Тогда
Учитывая, что заряд кольца Q=σS, где S= π(R22-R12)- площадь кольца, получим искомый потенциал в центре кольца
Ответ: φ=25В
Пример 12.3. Два точечных одноименных заряда (q1=2нКл и q2=5нКл) находятся в вакууме на расстоянии r1= 20см. Определите работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния r2=5см.
Дано: q1=2нКл=2∙10-9Кл; q 2=5нКл=5∙10-9Кл; r1= 20см=0,2м; r2=5см=0,05м.
Найти: А.
Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q из точки поля, имеющей потенциал φ1, в точку с потенциалом φ2.
A12= q(φ1- φ2)
При сближении одноимённых зарядов работу совершают внешние силы, поэтому работа этих сил равна по модулю, но противоположна по знаку работе кулоновских сил:
A= -q(φ1- φ2)= q(φ2- φ1). (1)
Потенциалы точек 1 и 2 электростатического поля
; (2)
Подставив формулы (2) в выражение (1), найдём искомую работу, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды,
Ответ: А=1,35 мкДж.
Пример 12.4. Электростатическое поле создаётся положительно заряженной бесконечной нитью. Протон, двигаясь под действием электростатического поля вдоль линии напряжённости от нити с расстояния r1=2см до r2=10см, изменил свою скорость от υ1=1Мм/с до υ2=5Мм/с. Определите линейную плотность τ заряда нити..
Дано: q=1,6∙10-19 Кл; m=1,67∙10-27кг; r1=2см=2∙10-2м; r2= 10см=0,1м; r2=5см=0,05м; υ1=1Мм/с=1∙106м/с; до υ2=5Мм/с=5∙106м/с.
Найти: τ.
Решение: Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении протона из точки поля с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2 идёт на увеличение кинетической энергии протона
q(φ1- φ2)=ΔТ (1)
В случае нити электростатическое поле обладает осевой симметрией, поэтому
или dφ=-Edr,
тогда разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстоянии r1 и r2 от нити,
(учли, что напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной нитью, ).
Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что , получим
Откуда искомая линейная плотность заряда нити
Ответ: τ = 4,33 мкКл/м.
Пример 12.5. Электростатическое поле создаётся в вакууме шаром радиусом R=8см, равномерно заряженными с объёмной плотностью ρ=10нКл/м3. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими от центра шара на расстояниях: 1) r1=10см и r2=15см; 2) r3= 2см и r4=5см..
Дано: R=8см=8∙10-2м; ρ=10нКл/м3=10∙10-9нКл/м3; r1=10см=10∙10-2м;
r2=15см=15∙10-2м; r3= 2см=2∙10-2м; r4=5см=5∙10-2м.
Найти: 1) φ1- φ2; 2) φ3- φ4.
Решение: 1) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 от центра шара.
(1)
где - напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей вне шара на расстоянииr от его центра.
Подставив это выражение в формулу (1) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов
2) Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r3 и r4 от центра шара,
(2)
где - напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным с объёмной плотностью ρ шаром, в любой точке, лежащей внутри шара на расстоянииr от его центра.
Подставив это выражение в формулу (2) и проинтегрировав, получим искомую разность потенциалов
Ответ: 1) φ1- φ2=0,643 В; 2) φ3- φ4=0,395 В
studfiles.net
Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал
Теперь известно, что на заряд, помещенный в электрическое поле, действует сила. Следовательно, перемещение заряда в электрическом поле будет сопровождаться работой
dA = Fdl
dA > 0 в случае, если работа совершается силами поля;
dA < 0 в случае, если работа совершается внешними силами против сил поля.
Рассмотрим перемещение пробного заряда Q0 из точки 1 в точку 2 в поле сил, создаваемых зарядом Q.
Поле сил – центральное (рис. 73). Работа на пути dl будет равна
Отсюда работа по перемещению заряда из точки 1 в точку 2
Если работа совершается внешними силами, то
Электростатическое поле является потенциальным. Это значит, что работа по перемещению заряда не зависит от пути, по которому перемещается заряд, а зависит только от начального и конечного положения заряда.
Тело, находящееся в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией, за счет которой совершается работа силами поля. Следовательно, полученное выражение для работы можно представить как разность потенциальных энергий заряда Q0 в поле сил, созданном зарядом Q
Таким образом, потенциальная энергия в каждой точке поля зависит от величины пробного заряда Q0. Но если взять отношение W/Q0, то оно будет зависеть только от точки поля, и не будет зависеть от величины помещенного в эту точку заряда. Отношение = φ называют потенциалом поля.
Потенциалом электрического поля называется физическая величина, равная отношению потенциальной энергии, которую приобретает положительный заряд Q0, если его переместить из в данную точку поля, к величине этого заряда
.
Из равенства А12 = -А21 следует другое определение.
Потенциалом поля называется физическая величина, численно равная работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом, при удалении его из данной точки поля в бесконечность.
Потенциал – величина скалярная. При суперпозиции (наложении) электрических полей потенциал суммарного электрического поля определяется как алгебраическая сумма потенциалов налагаемых полей
Выражение для работы по перемещению заряда из точки с потенциалом φ1в точку с потенциалом φ2 имеет вид
A12 = Q (φ2 – φ1).
Работа измеряется в Дж или эВ. 1эВ = 1,6 ∙10-19 Дж.
Для наглядного изображения поля вместо линий напряженности (силовых линий) можно воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипотенциальными поверхностями. Эквипотенциальная поверхность – это такая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Если потенциал задан как функция координат x, y, z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:
φ (x,y,z) = const.
Эквипотенциальные линии – линии, образующиеся от пересечения эквипотенциальной поверхности плоскостью проводятся так, что направление нормали к ним совпадает с направлением вектора в той же точке (рис.74).
Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть бесконечное множество.
Рис. 74
Условились, однако, проводить их таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних эквипотенциальных поверхностей была всюду одна и та же. Тогда по их густоте можно судить о величине напряженности поля.
studfiles.net
4. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда.
При перемещении заряда в электростатическом поле, действующие на заряд кулоновские силы, совершают работу. Пусть заряд q00 перемещается в поле заряда q0 из точки С в точку В вдоль произвольной траектории (рис.1.12). На q0 действует кулоновская сила
. При элементарном перемещении заряда dl, эта сила совершает работу dA
, где - угол между векторами и . Величина dlcos=dr является проекцией вектора на направление силы . Таким образом, dA=Fdr, . Полная работа по перемещению заряда из точки С в В определяется интегралом , где r1 и r2 - расстояния заряда q до точек С и В. Из полученной формулы следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда q0 в поле точечного заряда q, не зависит от формы траектории перемещения, а зависит только от начальной и конечной точки перемещения.
В разделе динамики показано, что поле, удовлетворяющее этому условию, является потенциальным. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда - потенциальное, а действующие в нем силы - консервативные.
Если заряды q и q0 одного знака, то работа сил отталкивания будет положительной при их удалении и отрицательной при их сближении (в последнем случае работу совершают внешние силы). Если заряды q и q0 разноименные, то работа сил притяжения будет положительной при их сближении и отрицательной при удалении друг от друга (последнем случае работу также совершают внешние силы).
Пусть электростатическое поле, в котором перемещается заряд q0, создано системой зарядов q1, q2,...,qn. Следовательно, на q0 действуют независимые силы , равнодействующая которых равна их векторной сумме. Работа А равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил, , где ri1 и ri2 - начальное и конечное расстояния между зарядами qi и q0 .
Циркуляция вектора напряженности.
При перемещении заряда по произвольному замкнутому пути L работа сил электростатического поля равна нулю. Поскольку, конечное положение заряда равно начальному r1=r2, то и (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому пути). Так как и , то . Отсюда получаем . Сократив обе части равенства на q0, получим или , где El=Ecos - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения . Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности. Таким образом,циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Это заключение есть условие потенциальности поля.
Потенциальная энергия заряда.
В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.
Поэтому работу A12 можно представить, как разность потенциальных энергий заряда q0 в начальной и конечной точках поля заряда q :
Потенциальная энергия заряда q0 , находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна
Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0 .
Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальная энергия из взаимодействия (притяжения) отрицательна.
Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q0 , находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:
Потенциал электростатического поля.
Отношение не зависит от пробного заряда q0 и является, энергетической характеристикой поля, называемой потенциалом:
Потенциал ϕ в какой-либо точке электростатического поля есть скалярная физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещенного в эту точку.
5.
| Потенциал электростатического поля — скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии заряда в поле к этому заряду: - энергетическая характеристика поля в данной точке. Потенциал не зависит от величины заряда, помещенного в это поле. | ||
| Т.к. потенциальная энергия зависит от выбора системы координат, то и потенциал определяется с точностью до постоянной. За точку отсчета потенциала выбирают в зависимости от задачи: а) потенциал Земли, б) потенциал бесконечно удаленной точки поля, в) потенциал отрицательной пластины конденсатора. |
| |
| - следствие принципа суперпозиции полей (потенциалы складываютсяалгебраически). | ||
| Потенциал численно равен работе поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки электрического поля в бесконечность. В СИ потенциал измеряется в вольтах: |
| |
| Разность потенциалов | ||
|
| ||
| Напряжение — разность значений потенциала в начальной и конечнойточках траектории. Напряжение численно равно работе электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль силовых линий этого поля. Разность потенциалов (напряжение) не зависит от выбора системы координат! | ||
| Единица разности потенциалов
Напряжение равно 1 В, если при перемещении положительного заряда в 1 Кл вдоль силовых линий поле совершает работу в 1 Дж. | ||
| Связь между напряженностью и напряжением. | ||
|
Из доказанного выше: → напряженность равна градиенту потенциала (скорости изменения потенциала вдоль направления d). | ||
| Из этого соотношения видно:
| ||
| Эквипотенциальные поверхности. ЭПП - поверхности равного потенциала. Свойства ЭПП: - работа при перемещении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не совершается; - вектор напряженности перпендикулярен к ЭПП в каждой ее точке. | ||
|
| ||
| Измерение электрического напряжения (разности потенциалов) Между стержнем и корпусом — электрическое поле. Измерение потенциала кондуктора Измерение напряжения на гальваническом элементе Электрометр дает большую точность, чем вольтметр. | ||
| Потенциальная энергия взаимодействия зарядов. |
| |
| Потенциал поля точечного заряда |
| |
|
| ||
| Потенциал заряженного шара а) Внутри шара Е=0, следовательно, потенциалы во всех точках внутри заряженного металлического шара одинаковы (!!!) и равны потенциалу на поверхности шара. б) Снаружи поле шара убывает обратно пропорционально расстоянию от центра шара, как и в случае точечного заряда. | ||
| Перераспределение зарядов при контакте заряженных проводников. | ||
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ
Электрический диполь — система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Плечо диполя — вектор , направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между зарядами. Электрический момент диполя (дипольный момент): . Напряженность поля диполя в произвольной точке (согласно принципу суперпозиции): где и — напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами.
Напряженность поля диполя на продолжении оси диполя в точке А: . Напряженность поля диполя на перпендикуляре, восставленном к оси из его середины в точке B: .
studfiles.net
Работа электрического поля при перемещении заряда
На пробный электрический заряд, помещенный в электростатическое поле, действует сила, заставляющая этот заряд перемещаться. Значит, эта сила совершает работу по перемещению заряда. Получим формулу для расчета работы этой силы.
Рассмотрим однородное электрическое поле (такое поле существует между пластинами плоского заряженного конденсатора вдали от его краев):
Допустим, что мы поместили пробный заряд в точку М. Тогда силаво всех точках поля имеет один и тот же модуль и направление. Под действием силы заряд перемещается в точку N. Работа, совершенная полем:
Представим, что заряд переместился по пути MKN. Работа поля по перемещению заряда:
Представим, что заряд переместился из точки N в точку M по криволинейной траектории. Тогда мы можем разделить эту траекторию на малые участки, каждый из которых можно будет считать прямолинейным. Запишем работу на каждом таком участке, затем эти работы сложим и придем к тому же результату. Значит ее работа не зависит от траектории движения, а зависит только от расположения начальной и конечной точки движения. Мы рассмотрели однородное электрическое поле, но полученный вывод верен для любого электростатического поля.
Сила, работа которой не зависит от формы пути, проходимого точкой приложения силы, называется консервативной (потенциальной) силой. Следовательно, сила, действующая на заряд в электрическом поле – консервативная.
Допустим, что в некотором электростатическом поле пробный заряд q0 переместился из точки 1 в точку 2. Из механики известно, что работа консервативных сил по перемещению заряда равна убыли потенциальной энергии системы:
В одной точке электрического поля разные заряды могут обладать различной потенциальной энергией, но отношение потенциальной энергии к заряду для данной точки поля оказывается постоянной величиной. Она называется потенциалом и ее принимают за энергетическую характеристику данной точки поля:
Из выражений (1) и (2) получим:
Т. е. работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда, равна произведению заряда на разность потенциалов начальной и конечной точек траектории движения заряда.
Физический смысл потенциала: Предположим, что заряд равен единице, тогда . Таким образом,потенциал – физическая величина, численно равная той потенциальной энергии, которой обладает пробный заряд, равный единице, помещенный в данную точку поля. (Так мы говорим для краткости: на самом деле Wp – потенциальная энергия системы зарядов, образующих поле и пробного заряда, внесенного в это поле).
За единицу потенциала принимают потенциал такой точки поля, в которой пробный заряд 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж. Эта единица – 1 Вольт.
Доказано, что потенциал в некоторой точке поля, созданного точечным зарядом q рассчитывается по формуле:
(*), где
r – расстояние от заряда, образующего поле, до точки, в которой нужно найти потенциал.
Потенциал – скалярная величина. Потенциалы точек поля, созданного положительным зарядом, являются положительными величинами и наоборот. Если поле создано несколькими зарядами, то потенциал каждой точки этого поля есть алгебраическая сумма потенциалов отдельных полей.
Из формулы (*) видно, что потенциал равен нулю, в точках пространства, расположенных бесконечно далеко от заряда, образующего поле.
/*----------------------------------------------------
Можно дать другое толкование физического смысла потенциала:
Предположим, что под действием сил поля заряд переместился из точки поля 1 в бесконечно далекую точку. Тогда работа, совершенная сила ми поля:
. Но , т. к. в бесконечно далекой точке поле отсутствует. Следовательно,
Значит, потенциал поля в точке 1 – физическая величина, численно равная работе, которую совершат силы поля, перемещая единичный заряд из данной точки поля в бесконечно далекую точку.
----------------------------------------------------*/
Значение потенциала данной точки поля зависит от выбора поверхности нулевого потенциала. В физике считают, что нулевым потенциалом обладают точки пространства, бесконечно далекие от зарядов, образующих поле. В радиотехнике считают, что нулевым потенциалом обладают точки поверхности земли. В формулу работы входит разность потенциалов, а эта величина не зависит от выбора точки нулевого потенциала.
Поверхности, перпендикулярные к силовым линиям называются эквипотенциальными поверхностями (поверхностями равного потенциала). Все точки таких поверхностей имеют одинаковый потенциал. Работа поля по перемещению заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.
studfiles.net
Работа в электрическом поле. Потенциал
При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении 
равна (рис. 1.4.1):
|
|
| Рисунок 1.4.1. Работа электрических сил при малом перемещении |
Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле
Электростатическое поле обладает важным свойством:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.
Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.
Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.
Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными.
На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение . Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна
Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r1 до r = r2, то можно получить
Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.
Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов 
, то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ 
кулоновских полей точечных зарядов: 
Так как каждый член суммы не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.
Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда q, помещенного в эту точку, принимается равной нулю.
Потенциальная энергия заряда q, помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A10, которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):
(В электростатике энергию принято обозначать буквой W, так как буквой E обозначают напряженность поля.)
Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.
Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).
| A12 = A10 + A02 = A10 – A20 = Wp1 – Wp2. |
Потенциальная энергия заряда q, помещенного в электростатическое поле, пропорциональна величине этого заряда.
Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:
Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.
Работа A12 по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ1 – φ2) начальной и конечной точек:
| A12 = Wp1 – Wp2 = qφ1 – qφ2 = q(φ1 – φ2). |
В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является Вольт (В).
| 1 В = 1 Дж / 1 Кл |
Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:
Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Потенциал φ∞ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:
Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при r ≥ R, где R – радиус шара.
Для наглядного представления электростатическое поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности.
Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.
Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.
|
|
| Рисунок 1.4.3. Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда |
В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.
Если пробный заряд q совершил малое перемещение 
вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:
| ΔA12 = qEΔl = q(φ1 – φ2) = – qΔφ, |
где Δφ = φ1 – φ2 – изменение потенциала. Отсюда следует
Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии.
Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов:
φ = φ1 + φ2 + φ3 + ...
www.its-physics.org
Поделиться с друзьями: