1.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока. Найти токи в ветвях схемы онлайн

Решение задач по электротехнике (ТОЭ)

Теоретические основы электротехники являются фундаментальной дисциплиной для всех электротехнических специальностей, а так же для некоторых неэлектротехнических (например, сварочное производство). На этой дисциплине основываются все спец. предметы электриков. Несмотря на большой объем дисциплины и кажущуюся сложность, она основана всего на нескольких законах. В этой статье я постараюсь рассмотреть решение основных задач, встречающихся в данном курсе. 

Законы Кирхгофа. Расчет цепей постоянного тока

В электротехнике существует два основных закона, на основании которых, теоретически можно решить все цепи. 

Первый закон Кирхгофа выглядит следующим образом.Сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, отходящих от узла. 

 

Для данного рисунка имеем:I1 + I2 + I4 = I3 + I5. 

Второй закон Кирхгофа.Сумма напряжений вдоль замкнутого контура равна сумме ЭДС вдоль этого же контура. Для схемы на рисунке (стрелкой обозначим направление вдоль контура, которое будем считать условно положительным). 

 

Начиная с узла, где сходятся токи I1, I3, I4 запишем все напряжения (по закону Ома):-I1⋅R1 — I1⋅R2 – в первой ветви (знак минус означает, что ток имеет направление противоположное выбранному направлению контура).I3⋅R3 – во второй ветви (знак «плюс», направление совпадает). 

Теперь запишем ЭДС:E2 — E3 (знак «минус» у E3, потому что направление ЭДС противоположно направлению контура). 

В соответствии с законом Кирхгофа напряжения равны ЭДС:-I1⋅R1 — I1⋅R2 + I3⋅R3 = E2 — E3. 

Как видите, все довольно просто. 

В большинстве случаев перед студентами стоит задача рассчитать величины токов во всех ветвях, зная величины ЭДС и резисторов. Для расчета сложной, разветвленной цепи постоянного тока, например этой, найденной на просторах интернета, воспользуемся следующими действиями. 

 

Для начала задаемся условно положительными направлениями токов в ветвях (это значит, что ток может течь и в противоположном направлении, тогда он будет иметь отрицательное значение). 

 

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа для каждого замкнутого контура так, чтобы охватить каждый неизвестный ток (в данной схеме имеем 3 таких контура). Направления контуров выбираем для удобства по часовой стрелке (хоть это и необязательно):  

По первому закону Кирхгофа составляем столько уравнений, чтоб охватить все неизвестные токи (в данной схеме для любых трех узлов):  

Итого, имеем систему из 6 уравнений. Чтобы решить такую систему можно воспользоваться программой MathCad. Решается она следующим образом: 

 

Это скриншот программы. Знак «равно» в уравнения должен быть жирным (вкладка «булевы», CTRL + “=/+”).MathCad может решать системы любого порядка (например, схема имеет 10 независимых контуров). Но, во-первых, функция “Given” не работает с комплексными числами (об этом позже), во-вторых, не всегда есть под рукой компьютер или условие задачи поставлено так, что требуется решить схему другим методом. 

Данный метод решения задач называется методом непосредственного применения законов Кирхгофа. Большинство студентов старших курсов (уже прослушавших курс ТОЭ), инженеров-электриков, даже преподавателей и докторов наук могут решать схемы только этим методом, т.к. другие методы применяются крайне редко. 

Переменный ток.

Переменный синусоидальный ток (или напряжение) задается уравнением:Здесь Im – амплитуда тока.ω – угловая частота, находится как ω = 2⋅π⋅f (обычно в условии задается либо f, либо ω)φ – фаза. 

Обычно в задачах условия задают либо в таком формате, либо в действующем значении. Амплитудное больше действующего всегда в √2 раз. Если в условии задано просто значение (например, E1 = 220 В), то это значит, что дано действующее значение. 

Если же в условии дано «250⋅sin(314t – 15°), В», то его нужно перевести в действующее комплексное значение. 

Про комплексные числа можно подробнее прочитать на нашем сайте. 

Для перевода величин к действующим необходимо: , 

Точечка над I означает, что это комплекс. 

Чтобы не путать с током, в электротехнике комплексная единица обозначается буквой «j».  

Для заданного напряжения имеем:  

В решении задач обычно оперируют действующими значениями. 

В переменном токе вводятся новые элементы:

Катушка индуктивности	L – [Гн]
Конденсатор [емкость]	С – [Ф]

 

Их сопротивления (реактивные сопротивления) находятся как:(сопротивление конденсатора — отрицательное) 

Например, имеем схему, она подключена на напряжение 200 В, имеющего частоту 100 Гц. Требуется найти ток. Параметры элементов заданы: 

 

Чтоб найти ток, необходимо напряжение разделить на сопротивление (из закона Ома). Здесь основная задача – найти сопротивление. Комплексное сопротивление находится как: 

 

Напряжение делим на сопротивление и получаем ток. 

Все эти действия удобно проводить в MathCad. Комплексная единица ставится «1i» или «1j». Если нет возможности, то:

1. Деление удобно производить в показательной форме.
2. Сложение и вычитание – в алгебраической.
3. Умножение – в любой (оба числа в одинаковой форме).

 

Также, скажем пару слов о мощности. Мощность есть произведение тока и напряжения для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока вводится еще один параметр – угол сдвига фаз (вернее его косинус) между напряжением и током. 

Предположим, для предыдущей цепи нашли ток и напряжение (в комплексной форме). 

Также мощность можно найти и по другой формуле: 

В этой формуле — сопряженный комплекс тока. Сопряженный – значит, что его мнимая часть (та, что с j) меняет свой знак на противоположный (минус/плюс).Re – означает действительная часть (та, что без j). 

Это были формулы для активной (полезной) мощности. В цепях переменного тока существует так же и реактивная мощность (генерируется конденсаторами, потребляется – катушками). 

Реактивная мощность цепи:

Im – мнимая часть комплексного числа (та, что с j). 

Зная реактивную и активную мощность можно подсчитать полную мощность цепи: 

Для упрощенного расчета цепей постоянного и переменного тока, содержащих большое число ветвей, пользуются одним из упрощенных методов анализа цепей. Рассмотрим подробнее метод контурных токов. 

Метод контурных токов (МКТ)

Данный метод подходит для решения схем, содержащих больше узлов, чем независимых контуров (например, схема из раздела про постоянный ток). Принцип решения состоит в следующем:

1. Выделяем независимые контуры (их должно быть столько, чтоб охватить все неизвестные токи). Контурные токи обычно называют I11, I22 и т.д.

2. Определяем контурные сопротивления (сумма сопротивлений вдоль контура): 

   Далее определяются общие контурные сопротивления (те, что относятся одновременно к 2 контурам), они берутся со знаком минус: 

   Также определяем контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС вдоль контура):

3. Далее составляются уравнения (если имеем 4 контура, то система будет из 4 уравнений с 4 контурными токами в каждом, если из 5, то 5 и т.д.): 

   Данная система легко решается методом Крамера. Также в сети есть много онлайн-калькуляторов.

4. Зная контурные токи, можно найти токи в ветвях:I1 = I11 (в первой ветви протекает только контурный ток I11)I2 = I33 – I22 (направления контурного тока I33 совпадает с направлением I2, направление I22 – противоположно, поэтому берем со знаком минус)По аналогии находим остальные токи.

 

Данный метод, как и другие (например, метод узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения) пригоден для цепей как постоянного, так и переменного тока. При расчете цепей переменного тока сопротивления элементов приводятся к комплексной форме записи. Система уравнений решается также в комплексной форме. 

Литература

Из литературы можно порекомендовать Бессонова Л.А. «Теоретические основы электротехники: Электрические цепи». Также много информации в интернете на сайтах, посвященных электротехнике.  

Решение электротехники на заказ

И помните, что наши решатели всегда готовы помочь Вам с ТОЭ. Подробнее.

reshatel.org

Пример решения задачи методом контурных токов

Скачайте приложение для онлайн решения разветвленной цепи. Вам потребуется только нарисовать схему в редакторе программы и задать численные значения элементов. Программа сама выдаст подробное пошаговое решение как если бы вы сами делали это РГР.

Для электрической цепи рис. 1, выполнить следующее:

1. Составить уравнения для определения токов путем непосредственного применения законов Кирхгофа. Решать эту систему уравнений не следует.
2. Определить токи в ветвях методом контурных токов.
3. Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, содержащего обе ЭДС.
4. Определить режимы работы активных элементов и составить баланс мощностей.

Значения ЭДС источников и сопротивлений приемников:E1 = 130 В, Е2 = 110 В, R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 21 Ом, R4 = 16 Ом, R5 = 19 Ом, R6 = 16 Ом.

Смотрите также Пример решения схемы методом контурных токов № 1 Пример решения схемы методом контурных токов № 2 Пример решения схемы методом контурных токов № 3 Пример решения схемы методом контурных токов № 4 Пример решения схемы методом контурных токов № 5 Посмотреть видео "Метод контурных токов 2"   (пример решения конкретной задачи)   

Рис. 1. Схема

Решение. Заказать работу!    Решить онлайн! (New!!!)

1. Произвольно расставим направления токов в ветвях цепи, примем направления обхода контуров (против часовой стрелки), обозначим узлы.

Рис. 2

2. Для получения системы уравнений по законам Кирхгофа для расчета токов в ветвях цепи составим по 1-му закону Кирхгофа 3 уравнения (на 1 меньше числа узлов в цепи) для узлов 1,2,3:

По второму закону Кирхгофа составим m – (р – 1) уравнений (где m – кол-во ветвей, р – кол-во узлов ), т.е. 6 – (4 – 1) = 3 для контуров I11, I22, I33:Токи и напряжения совпадающие с принятым направлением обхода с «+», несовпадающие с «-».Т.е. полная система уравнений для нашей цепи, составленная по законам Кирхгофа:

3. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями течения контурных токов в каждом контуре схемы и обозначим их I11, I22, I33 (см. рис. 2)

4. Определим собственные сопротивления трех контуров нашей цепи, а так же взаимное сопротивление контуров:

(Ом)(Ом)(Ом)(Ом)(Ом)(Ом)

5. Составим систему уравнений для двух контуров нашей цепи:Подставим числовые значения и решим.(А)(А)(А)

Определим фактические токи в ветвях цепи:(А) направление совпадает с выбранным(А) направление совпадает с выбранным(А) направление совпадает с выбранным(А) направление тока потивоположно выбранному(А) направление совпадает с выбранным(А) направление совпадает с выбранным

6. Проверим баланс мощностей:(ВА)Небольшая разница в полученных результатах является результатом погрешности при округлении числовых значений токов и сопротивлений.

7. Построим потенциальную диаграмму контура изображенного на рис. 3. В качестве начальной точки примем узел 1.Рис.3

Для построения потенциальной диаграммы определим падения напряжения на каждом сопротивлении, входящем в выбранный контур.(В)(В)(В)(В)Потенциал увеличивается если обход осуществляется против направления тока, и понижается если направление обхода совпадает с направлением тока. На участке с ЭДС потенциал изменяется на величину ЭДС. Потенциал повышается в том случае, когда переход от одной точки к другой осуществляется по направлению ЭДС и понижается когда переход осуществляется против направления ЭДС.

Рис. 4. Потенциальная диаграмма. ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ!  

Решить онлайн! (New!!!)

 

 

 

 

freewriters.narod.ru

1.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

Задание

Для электрической цепи выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для оп­ределения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода нало­жения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генера­тора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого кон­тура, включающего обе ЭДС.

E1 B	E2 B	R1 Ом	R2 Ом	R3 Ом	R4 Ом	R5 Ом	R6 Ом	r01 Ом	r02 Ом
40	20	35	52	24	41	16	61	2	1

1.1.1 Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении пер­вого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в ветвях

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов).

В заданной цепи 6 ветвей, значит, в системе должно быть 6 уравнений (т = 6). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с п узлами можно составить (n-1) независи­мых уравнений. В нашей цепи 4 узла (А, В, С,D), значит, число уравнений: n-1=4-1=3. Составляем 3 уравнения для любых 3-х узлов, например, для узлов А, В,C

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три не­достающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по вто­рому закону Кирхгофа.

А: I3=I2+ I1

B: I1=I4+ I6

C: I3=I4+ I5

Контур АВCА - обход по часовой стрелке

Контур ADCA - обход против часовой стрелки

Контур DCBD - обход по часовой стрелке

Мы получили систему из 6 уравнений с 6 неизвестными:

1.1.2 Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго за­кона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые конту­ры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной.

В заданной можно рассмотреть три контура-ячейки (ABCA, ADCА, DCBD) и ввести для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются на­пряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывает­ся падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом кон­турных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik1, Ik2, Ik3в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом

подстановки, или с помощью определителей.

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆1, ∆2, ∆3

Вычисляем контурные токи:

Действительные токи ветвей:

studfiles.net

Методы расчета электрических цепей | Сайт тоэ.com

Перед тем, как переходить к расчету цепей - ответим на вопрос: что значит рассчитать цепь? Как правило, в исходных данных задач указывают данные источников энергии (ЭДС), а также пассивных элементов (резисторов), при этом токи не указываются. Цепь считается рассчитанной, если найдены токи во всех ветвях.

Рассмотрим следующие методы расчета цепей:

1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Рассмотрим схему, на ней обозначим направления токов, и обхода контуров.



Далее необходимо составить уравнения по первому закону Кирхгофа. Количество уравнений определяем должно быть на одно меньше чем количество узлов. В схеме имеем 4 узла, следовательно, составляем 3 уравнения.



В данном примере мы не составляли уравнение для узла d, но можно было «проигнорировать» любой другой узел. Заметим, что в составленных трех уравнениях есть все 6 неизвестных токов.

Как известно из школьного курса математики, для корректного решения системы уравнений должно соблюдаться правило: сколько неизвестных в системе - столько должно быть в ней уравнений.

В данном примере 6 неизвестных и 3 уравнения уже составлены. Оставшиеся 3 уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Контуры можно выбирать произвольно (например, одним из контуров можно взять контур, в которых входят токи I1, I2, I5, I3), но должно соблюдаться одно правило: в выбранные 3 контура должны входить все элементы цепи. Обычно обозначают внутренние контура (как на схеме). Таким образом, контуры получатся наиболее короткие (соответственно, уравнения менее громоздкие), а также это более наглядно. Направление контуров выбираем произвольное.



По обозначенным контурам составляем оставшиеся 3 уравнения по второму закону Кирхгофа.



Таким образом, получаем систему из 6 уравнений:



Ее решение и будут неизвестные токи. Однако данная система является довольно громоздкой и на практике применяется редко.

Расчет цепи методом контурных токов (сокращенно МКТ) сводится к расчету контурных токов и выражению из них токов ветвей. Поскольку независимых контуров в цепи меньше, чем токов (в предыдущем примере было 3 контура), то решение системы уравнений будет проще.

Для начала расчета обозначим контурные токи на схеме. Правило такое же, как и обозначение контуров при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа: в выбранные 3 контура должны входить все элементы цепи. Направление контуров, как всегда, произвольное.



Далее составляется система уравнений для каждого контура. Каждое уравнение составляется следующим образом:

Контурный ток умножается на сопротивление этого же контура



Далее, к полученному выражению прибавляем взаимное сопротивление контура с каждым из контурных токов, умноженным на этот ток. Знак (+ или -) этого слагаемого зависит от взаимного направления контурных токов («плюс» - если направлены в одном направлении, «минус» - если в противоположных).

Например, для тока I22 (разное направление токов, взаимное сопротивление Z2):



Для I33 аналогично:



Полученная левая часть уравнения:



Правая часть уравнения - это контурные ЭДС (в данном контуре их нет). Итого первое уравнение будет иметь вид:



Контурные ЭДС - сумма ЭДС, входящих в этот контур (со знаком «плюс», если совпадает направление контура и ЭДС, «минус» - если противоположно).

Для контура I22 имеем уравнение с учетов контурных ЭДС:



Для контура I33:



Таким образом, получилась система из трех уравнений:



Данную систему решать проще, чем систему, составленную по законам Кирхгофа.

Токи в ветвях по рассчитанным контурным токам находятся следующим образом: для каждого тока определяем в какие контуры входит данная ветвь, если направление контурного тока совпадает с направлением тока, то данный контурный ток прибавляется со знаком «плюс», иначе - со знаком «минус».

Например, ток I1, через него проходит только ток I22, значит



В ток I2 входят два контурных тока, причем I22 совпадает по направлению, а I11 - противоположен. Значит ток будет иметь вид:



Остальные токи:



Решение задачи по МУП сводится к предварительному нахождению потенциалов узлов, а по ним уже нахождение токов.

Т.к. потенциал величина относительная - заземлим один из узлов (например, узел d), таким образом, его потенциал будет равен нулю.



Следующим шагом будет составление уравнений для каждого потенциала. В левой части будет сумма собственных и взаимных проводимостей (проводимость - величина обратная сопротивлению) ветвей, умноженной на потенциалы. В правой - токи источников энергии. Подробнее рассмотрим на примере:

В узел 1 входят ветви 1, 2, 3 получаем первое слагаемое:



Взаимные проводимости считаем со всеми узлами, кроме заземленного. Взаимные проводимости всегда идут со знаком «минус». Между узлами 1 и 2 имеем сопротивление Z2, между 1 и 3 - Z3 таким образом, левая часть уравнения примет вид:



Источники энергии вычисляются следующим образом: если источник направлен к узлу - то идет в уравнение со знаком «плюс», наоборот - «минус». К первому узлу подходит только ЭДС Е1. Для получения тока, ЭДС необходимо разделить на сопротивление. Получим уравнение:



Уравнения остальных узлов (кроме заземленного) составляем аналогично. Полученная система уравнений:



Решением системы будут потенциалы каждого из узлов.

Далее, когда потенциалы всех точек известны можно рассчитать токи, используя закон Ома.



Данный метод можно объяснить просто: ток в каждой ветви равен алгебраической сумме токов, которые создаются каждым из источников. Покажем наглядно на схеме:



В данной схеме два источника энергии. Принцип следующий: убираем из цепи все источники ЭДС (закорачиваем) кроме первого. Вычисляем токи любым удобным методом. Далее оставляем только второй источник ЭДС и вычисляем токи от него.

После расчета токов от всех источников вычисляем сумму рассчитанных токов от каждого источника. При расчет токов этим методом наиболее часто Рекомендуем изначально задаться направлениями токов в ветвях и не менять их при расчетах, чтобы не было путаницы со знаками.

С помощью данного метода удобно находить ток в одной из ветвей. Метод основан на теореме об активном двухполюснике.

Покажем расчет на примере: в схеме необходимо рассчитать ток ветви I1.



Часть схемы, без неизвестного тока заменим эквивалентным генератором.



Решение задачи сводится к нахождению параметров генератора: напряжения холостого хода Uxx и внутреннего сопротивления Rг.

Для нахождения напряжения холостого хода Uxx отбросим от начальной схемы ветвь, ток которой нам нужно найти.



Далее выполняется поиск напряжения холостого хода (между точками a и d) любым из ранее описанных методов.

Для нахождения внутреннего сопротивления генератора Rxx в данной схеме закоротим все источники ЭДС.



Далее находим эквивалентное сопротивление генератора, используя методы преобразования элементов (последовательное, параллельное соединение, преобразование «звезды» в «треугольник»).

Когда параметры генератора найдены составляем выражение для нахождения искомого тока используя закон Ома:



xn--n1ah8a.com

Метод контурных токов.

Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Он заключается в определении по второму закону Кирхгофа контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.

Рис.28. Иллюстрация к методу контурных токов.

На рис.28 показана цепь с двумя независимыми контурами, следовательно, и с двумя контурными токами I11иI22.

Токи в ветвях I1иI2равны контурным токам:

I1=I11, I2=I22

Ток I3равен сумме этих двух контурных токов:

I3=I11+I22

По второму закону Кирхгофа для первого контура цепи:

I1r1+I3r3=E1-E3

Или: I11r1+(I11+I22)r3=E1-E3;

I11 (r1+r2)+I22r3=E1-E3

Обозначим r1+r2=r11

r3=r12; E1-E3

Тогда: I11r11+I2r12=E11

r11– сумма всех сопротивлений, входящих в контурI, называетсясобственным сопротивлением контура.

r12– сопротивление ветви, общей для контураIиII;

E11=E1-E2– алгебраическая сумма всех э.д.с., содержащихся в первом контуре; со знаком «-» берется э.д.с., действующая навстречу контурному току рассматриваемого контура.

E11называетсяконтурной э.д.с.

Аналогично для второго контура рис.28.

I11r21+I22r22=E22,

где r21=r3;r22=r2+r3;

E22=E2-E3

Уравнения, составленные по методу контурных токов, всегда записывают в виде системы. Для схемы рис.28:

В результате решения системы находят контурные токи, а затем токи ветвей.

Если заданная электрическая цепь содержит nнезависимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получаетсяnконтурных уравнений:

(29)

Собственные сопротивления riiвходят в уравнения (29) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного токаIii. Общие сопротивленияrikвойдут в уравнения со знаком «-», когда токиIiиIkнаправлены в них встречно.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

Nур=Nb-Ny+1-Nи.т.

где Nb– число ветвей электрической цепи;

Ny– число узлов;

Nи.т.– число идеальных источников тока.

Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Пример.

Решим пример 2 параграфа 11, используя метод контурных токов.

Цепь содержит три контура, через которые протекают контурные токи.

При наличии источников тока надо так направлять контурные токи, чтобы они протекали через данные источники. Но через один источник тока не может протекать два контурных тока.

На рис.1 обозначены положительные направления контурных токов. Очевидно, что I11=J1;I22=-J2

Контурный ток I33– неизвестен, для него составляем уравнение:

I33 (R3+R4+R5+R6)-I11 (R3+R4)+I22 (R5+R3)=0

В правой части уравнения стоит «0», т.к. отсутствует контурная э.д.с.

В результате решения определяем I33=16,25 мА

Итак: I1=I11=20мА; I3=I11-I22-I33=20-(-10)-16,25=13,75мА.

I4=-I11+I33=-20+16,25=-3,75мА;

I5=I22+I33=-10+16,25=6,25мА;

I6=I33=16,25мА.

studfiles.net

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m - количество ветвей, а n  - количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток - это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I11, I22 и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС - это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

 

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

 Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.



Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I1-I6. 



2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I11,I22,I33. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R11=R1+R4+R5=10+25+30= 65 Ом

R22=R2+R4+R6=15+25+35 = 75 Ом

R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R4 принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R12=R21=R4=25 Ом

R23=R32=R6=35 Ом

R31=R13=R5=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом: 



 Ток первого контура I11, умножаем на собственное сопротивление R11 этого же контура, а затем вычитаем ток I22, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R21 и ток I33, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R31. Данное выражение будет равняться ЭДС E1 этого контура.  Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему: 



В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.  



5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному. 



Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус. 



 Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода. 

Например, через резистор R4 протекает ток I4, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть



 

А для остальных 



 Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Рекомендуем - Метод двух узлов

electroandi.ru

Расчёт, методом контурных токов, схемы с ИНУНом.

Если в схеме присутствует источник напряжения управляемый напряжением (ИНУН) то для этой схемы можно составить уравнения методом контурных токов и найти токи во всех ветвях. Расчёт методом контурных токов рассмотрим на примере расчёта схемы:

В схеме, на рисунке 1, есть два источника напряжения. E1-неуправляемый источник (его напряжение не изменяется). Другой источник - управляемый, он управляется напряжением U2, напряжение этого источника будет в β раз больше напряжения U2. Пусть для схемы на рисунке 1 заданы сопротивления резисторов, напряжение источника E1 и коэффициент передачи напряжения β: R1=1 Ом, R2=1 Ом, R3=100 Ом, R4=10 Ом, R5=10 Ом, R6=20 Ом, E1=40 В,  β =80. Для схемы, на рисунке 1, выберем: 1) направления токов во всех ветвях, 2) независимые контуры и 3) направления обходов этих контуров. Число независимых контуров определяется из уравнения:Контуры = (число ветвей - число ветвей с источником тока) - (число узлов - 1)Направления обходов контуров могут выбираться в любую сторону. Направления токов ветвей тоже могут выбираться в любую сторону. 

 Рисунок 2 - Схема с выбранными направлениями токов ветвей и выбранными контурами 

Рассмотрим систему уравнении записанную методом контурных токов: 

В первом уравнении (для контура I11) контурный ток I11 умножается на сумму сопротивлений принадлежащих контуру I11 (это произведение берется со знаком плюс). Контуру I11 принадлежат сопротивления: R1, R2, R3. Далее, в первом уравнении, со знаком минус, записывается произведение контурного тока I22 и сопротивления R2 (т.к. R2 - общее сопротивление для контуров I11 и I22). После чего, в первом уравнении, со знаком минус, записывается произведение тока I33 и сопротивления R3 (т.к. R3 - общее сопротивление для контуров I11 и I33). Если у того контура для которого записывается уравнение и контура для которого записывается отрицательное слагаемое нет общего сопротивления то в уравнение это слагаемое не записывается или записывается произведение нуля на контурный ток контура для которого записывается слагаемое. В правой части первого уравнения записывается напряжение источника β⋅U2 со знаком плюс т.к. направление обхода контура I11 не совпадает с направлением напряжения источника β⋅U2 (оно указано справа от этого источника, от плюса к минусу). Второе уравнение (для контура I22) записывается аналогично. Произведение тока I11 и сопротивления R2 (общее для контуров I11 и I22) записывается со знаком минус, во втором уравнении. Произведение тока I22 и суммы сопротивлений входящих в контур I22 записывается со знаком плюс. Произведение тока I22 и сопротивления R5 (общего для контуров I22 и I33) записывается со знаком минус. В правой части уравнения записывается напряжение источника E1 со знаком минус т.к. направление обхода контура I22 совпадает с направлением напряжения источника E1 (оно указано сверху от этого источника, от плюса к минусу). Третье уравнение (для контура I33) записывается аналогично. Произведение тока I11 и сопротивления R3 (общее для контуров I11 и I33) записывается со знаком минус, в третьем уравнении.  Произведение тока I22 и сопротивления R5 (общее для контуров I22 и I33) записывается со знаком минус. Произведение тока I33 и суммы сопротивлений: R3, R5, R6 (общих для контура I33) записывается со знаком плюс. В правой части уравнения записывается напряжение источника β⋅U2 со знаком минус (т.к. направление обхода контура I33 совпадает с направлением напряжения источника β⋅U2).  Далее (для расчёта контурных токов) представим напряжение U2 как произведение сопротивления R2 и тока I2:

Выразим ток I2 через контурные токи I11 и I22:

Ток I11 берется со знаком плюс т.к. обход контура I11 направлен в туже сторону что и ток I2, ток I22 берется со знаком минус т.к. обход контура I22 направлен в туже сторону что и ток I2. Подставим уравнение (3) в уравнение (2):

Подставим уравнение (4) в систему уравнений (1)

В первом и третьем уравнениях перенесем напряжение источника в левую часть:

Раскроем скобки в первом и третьем уравнениях: 

Вынесем за скобки токи I11 и I33 в первом и втором уравнениях: Представим систему уравнений (8) в матричном виде: Дадим матрице с сопротивлениями обозначение Z, а матрице с источником -E1 обозначение E и подставим в них исходные значения: Найдем определитель (детерминант) матрицы Z: Найти определитель матрицы 3го порядка можно таким способом: 1) справо от матрицы записываются два первых столбца (получается матрица с пятью столбцами), 2) элементы расположенные на главной диагонали (первая диагональ с лева на право с верху в низ, включает элементы: Δ11, Δ22, Δ33) перемножаются, 3) элементы (Δ12, Δ23, Δ31) расположенные на диагонали находящейся с права от главной диагонали перемножаются, 4) перемножаются элементы (Δ13, Δ21, Δ32) расположенные на крайней правой диагонали, 5) эти три полученных произведения суммируются, 6) элементы расположенные на побочной диагонали (первая диагональ с права на лево с верху в низ, включает элементы: Δ13, Δ22, Δ31) перемножаются, 7) элементы (Δ11, Δ23, Δ32) расположенные на диагонали находящейся с права от побочной диагонали перемножаются, 8) перемножаются элементы (Δ12, Δ21, Δ33) расположенные на диагонали расположенной с право от той которая расположена с право от побочной, 9) эти три полученных произведения суммируются, 10) из первой полученной суммы вычитается вторая.

Заменим первый столбец матрицы Z матрицей-столбцом E и найдем определитель полученной матрицы:

Заменим второй столбец матрицы Z матрицей-столбцом E и найдем определитель полученной матрицы: Заменим третий столбец матрицы Z матрицей-столбцом E и найдем определитель полученной матрицы: Поделив первый определитель ΔI11 на определитель матрицы Z найдем контурный ток I11: Поделив второй определитель ΔI22 на определитель матрицы Z найдем контурный ток I22:

Поделив первый определитель ΔI11 на определитель матрицы Z найдем контурный ток I11:

Теперь выразим токи ветвей через контурные токи и рассчитаем токи ветвей.

Ток I1 равен контурному току I11 т.к. они направлены в одну сторону и ветви с током I1 не принадлежат другие контура:

Ток I2 уже был выведен ранее:

Аналогично выведем и определим другие токи:

Если ток получается отрицательным то значит он направлен в сторону противоположную выбранной:

Рисунок 3 - Схема с правильными направлениями токов.

Ниже приведена программа для расчёта токов ветвей схемы на рисунке 1 при введенных исходных значениях:

electe.blogspot.com

---

• 
  Схемы и чертежи
• 
  Схемы теплых полов водяных
• 
  На схеме обозначение q
• 
  Обозначение контактов реле на схеме
• 
  Схемы импульсных бп
• 
  Схемы подключения видеодомофонов
• 
  Схемы стиральных машин
• 
  Схемы экономия электроэнергии
• 
  Схемы микроволновых печей
• 
  Магнитный пускатель пмл 1230 схемы подключения
• 
  Рубильник перекидной обозначение на схеме