Методы расчета электрических цепей. Как вычисляется активная мощность на участке электрической цепи

Методы расчета электрических цепей

Постановка задачи: в известной схеме цепи с заданными параметрами необходимо рассчитать токи, напряжения, мощности на отдельных участках. Для этого можно использовать следующие методы:

преобразования цепи;
непосредственного применения законов Кирхгофа;
контурных токов;
узловых потенциалов;
наложения;
эквивалентного генератора.

Будем рассматривать первых два метода.

Метод преобразования цепи. Суть метода: если несколько последовательно или (и) параллельно включенных сопротивлений заменить одним, то распределение токов в электрической цепи не изменится.

а) Последовательное соединение резисторов. Сопротивления включены таким образом, что начало следующего сопротивления подключается к концу предыдущего (рис. 6).

Ток во всех последовательно соединенных элементах одинаков.

Заменим все последовательно соединенные резисторы одним эквивалентным(рис. 7.).

По IIзакону Кирхгофа:

;

т.е. при последовательном соединении резисторов эквивалентное сопротивление участка цепи равно сумме всех последовательно включенных сопротивлений.

б) Параллельное соединение резисторов. При этом соединении соединяются вместе одноименные зажимы резисторов (рис. 8).

Все элементы присоединяются к одной паре узлов. Поэтому ко всем элементам приложено одно и тоже напряжениеU.

По Iзакону Кирхгофа:.

По закону Ома . Тогда.

Для эквивалентной схемы (см рис. 7): ; .

Величина , обратная сопротивлению, называется проводимостьюG.

;= Сименс (См).

Частный случай: параллельно соединены два резистора (рис. 9).

в) Взаимное преобразование звезды (рис.10а) и треугольник сопротивлений (рис. 10б).

- преобразование звезды сопротивлений в треугольник:

- преобразование "треугольника" сопротивлений в "звезду":

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа. Порядок расчета:

Определить число ветвей (т.е. токов) и узлов в схеме.
Произвольно выбрать условно-положительные направления токов. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов.
Определить, сколько уравнений должно быть составлено по Iзакону Кирхгофа, а сколько - поIIзакону Кирхгофа.
Составить уравнения для узлов поIзакону Кирхгофа и длянезависимых контуров (отличающихся друг от друга хотя бы на одну ветвь) - поIIзакону Кирхгофа.
Решить система уравнений относительно токов. Если в результате ток получился отрицательным, то его действительное направление противоположно выбранному.
Проверить правильность решения задачи, составив уравнение баланса мощности и смоделировав электрическую цепь средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench.

Примечание: если есть возможность, то перед составлением системы уравнений по законам Кирхгофа, следует преобразовать "треугольник" сопротивлений в соответствующую "звезду".

Пример расчет электрических цепей постоянного тока

Расчет будем выполнять с применением законов Кирхгофа, предварительно преобразовав треугольник сопротивлений в звезду.

Пример. Определить токи в цепи рис. 11, еслиE1=160 В,E2=100 В,R3=100 Ом,R4=100 Ом,R5=150 Ом,R6=40 Ом.

Преобразуем треугольник сопротивлений R4 R5 R6в звезду сопротивленийR45 R56 R64, предварительно указав условные положительные направления токов в цепи (рис. 12).

Ом;

Ом.


а)	б)
Рис. 12

После преобразования электрическая цепь примет вид рис. 13 (в непреобразованной части электрической цепи направления токов не изменятся).

Вполученной электрической цепи 2 узла, 3 ветви, 2 независимых контура, следовательно, в цепи протекает три тока (по количеству ветвей) и необходимо составить систему трех уравнений, из которых поIзакону Кирхгофа – одно уравнение (на 1 меньше, чем узлов в схеме электрической цепи) и два уравнения – поIIзакону Кирхгофа:

Подставим в полученную систему уравнений известные значения ЭДС и сопротивлений:

Решая систему уравнений любым способом, определяем токи схемы электрической цепи рис. 13:

А;А;А.

Переходим к исходной схеме (см. рис. 11). По IIзакону Кирхгофа:

;

А.

По Iзакону Кирхгофа:

;

А;

;

А.

Токииполучились отрицательными, следовательно, их действительное направление противоположно выбранному нами (рис. 14).

Правильность решения проверяем, составив уравнение баланса мощности. Мощность источников (учтем, что ЭДС источника E2направленно встречно токуI2, протекающему через него):

Вт.

Мощность потребителей:

Погрешность вычислений в пределах допустимого (меньше 5%).

Смоделируем электрическую цепь рис. 11 средствами моделирующего пакета ElectronicsWorkbench(рис. 15):

Рис. 15

При сравнении расчетных результатов и результатов моделирования, можно увидеть, что они отличаются (различия не превышают 5%), т.к. измерительные приборы имеют внутренние сопротивления, которые моделирующая система учитывает

studfiles.net

Составление баланса мощностей.

Из закона сохранения энергии следует, что вся мощность, поступающая цепь от источников энергии, в любой момент времени равна всей мощности, потребляемой приемниками данной цепи.

То есть IPпотр. = Pист.

Мощность потребителей, которыми в цепях постоянного тока являются резисторы, определяется по формуле

Pпотр. = I2R

Т.к. ток входит в данное выражение в квадрате, то независимо от его направления, мощность потребления всегда положительна.

Мощность источников, которыми могут быть источники напряжения и источники тока, бывает и положительной и отрицательной.

Мощность источника э.д.с. определяется по формуле

а)

Pэ.д.с. = EI

где I – ток в ветви с источником э.д.с.

б)

Если э.д.с. и ток этой ветви совпадают по направлению (рис.19а), то мощность Pэ.д.с.

входит в выражение баланса со знаком «+»,

если не совпадают – то Pэ.д.с. – величина

Рис.19 отрицательная.

Мощность источника тока определяется по формуле:

Pи.т. = IU

Где I – значение тока источника, U - напряжение на его зажимах.

Если ток I и напряжение U действуют так, как показано на рис.19б, то мощность положительна; в противном случае она – отрицательна. Следовательно, при вычислении мощности источника тока необходимо определять величину и направление напряжения на его зажимах.

Задача:

Контрольные вопросы:

Что представляет собой электрическая схема. Что относится к «электрическим» и «геометрическим» элементам схемы.
Дать определение последовательного и параллельного соединений элементов цепи.
Понятие «контур» в электрической цепи.
Чем отличается активная ветвь от пассивной?
Потенциальная диаграмма, ее назначение.
Изложить правило выбора знаков при нахождении потенциалов точек.
Сформулировать обобщенный закон Ома. Какова область его применения.
Сформулируйте первый закон Кирхгофа. Как определить число узловых уравнений? Правило знаков при написании узлового уравнения.
Формулировка второго закона Кирхгофа. Как определить число контурных уравнений. Правило знаков при написании контурного уравнения.
Что понимают под балансом мощностей? Как определяется мощность источника напряжения, источника тока, приемника.
Мощность каких элементов (активных или пассивных) может быть отрицательной и что это означает?

Преобразование схем электрических цепей

Цель лекции №3.

Ознакомившись с данной лекцией, студенты должны знать:

Цель преобразования электрических цепей.
Четко различать участки с последовательным и параллельным соединениями при рассмотрении смешанного соединения проводов.
Уметь преобразовывать соединение треугольник в эквивалентную звезду и обратно.
Уметь преобразовать источник э.д.с. в источник тока и обратно.

Преобразование схем электрических цепей.

Целью преобразования электрических цепей является их упрощение, это необходимо для простоты и удобства расчета.

Одним из основных видов преобразования электрических схем является преобразование схем со смешанным соединением элементов. Смешанное соединение элементов – это совокупность последовательных и параллельных соединений, которые и будут рассмотрены в начале данной лекции.

Последовательное соединение.

На рис.20 изображена ветвь электрической цепи, в которой последовательно включены сопротивления R1, R2,…,Rn. Через все эти сопротивления проходит один и тот же ток I. Напряжения на отдельных участках цепи обозначим через U1, U2,…, Un.

Рис.20. Последовательное соединение.

По второму закону Кирхгофа напряжение на ветви

U=U1+U2+…+Un= IR1+IR2+…+IRn=I (R1+R2+…Rn)=IRэкв. (23)

Сумма сопротивлений всех участков данной ветви

Называется эквивалентным последовательным сопротивлением.

Параллельное соединение.

На рис.21 изображена схема электрической цепи с двумя узлами, между которыми включено n параллельных ветвей с проводимостями G1, G2,…, Gn. Напряжение между узлами U, оно одинаково для всех ветвей.

Рис.21. Параллельное соединение (показать преобразованное).

По первому закону Кирхгофа ток общей ветви

I=I1+I2+…+In=G1U+G2U+…+GnU=U (G1+G2+…+Gn)=UGэкв. (24)

Сумма проводимостей всех ветвей, соединенных параллельно

называется эквивалентной проводимостью.

В случае параллельного сопротивления двух ветвей (n=2) обычно пользуются выражениями, в которые входят сопротивления и.

Эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных ветвей равно:

Смешанное соединение.

На рис.22 показано смешанное соединение электрической цепи:

Рис.22. Смешанное соединение.

Эта схема легко приводится к одноконтурной. Эквивалентировать схему обычно начинают с участков наиболее удаленных от входных зажимов. Для схемы рис.22 – это участок e-A. Сопротивления R5 и R6 включены параллельно, поэтому необходимо вычислить эквивалентное сопротивление данного участка по формуле

Для понимания полученного результата можно изобразить промежуточную схему (рис.23).

Рис.23

Сопротивления R3, R4 и R/экв. соединены последовательно, и эквивалентное сопротивление участка c-e-f-d равно:

Rэкв.=R3+ R/экв.+R4.

После этого этапа эквивалентирования схема приобретает вид рис.24.

Рис.24

Затем находим эквивалентное сопротивление участка c-d и суммируем его с сопротивлением R1. Общее эквивалентное сопротивление равно:

Полученное сопротивление эквивалентно сопротивлению (рис.25) исходной схемы со смешанным соединением. Понятие “эквивалентно” означает, что напряжение U на входных зажимах и ток I входной ветви остаются неизменными на протяжении всех преобразований.

Рис.25

Преобразование треугольника в эквивалентную звезду.

Преобразованием треугольника в эквивалентную звезду называется такая замена части цепи, соединенной по схеме треугольником, цепью, соединенной по схеме звезды, при которой токи и напряжения в остальной части цепи сохраняются неизменными.

Т.е., под эквивалентностью треугольника и звезды понимается то, что при одинаковых напряжениях между одноименными зажимами токи, входящие в одноименные выводы, одинаковы.

Рис.26. Преобразование треугольника в звезду.

Пусть R12; R23; R31- сопротивления сторон треугольника;

R1; R2; R3- сопротивления лучей звезды;

I12; I23; I31- токи в ветвях треугольника;

I1; I2; I3- токи, подходящие к зажимам 1, 2, 3.

Выразим токи в ветвях треугольника через подходящие токи I1, I2, I3.

По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре треугольника равна нулю:

I12R12+I23R23+I31R31=0

По первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2

I31=I12-I1; I23=I12+I2

При решении этих уравнений относительно I12 получим:

Напряжение между точками 1 и 2 схемы треугольника:

Напряжение между этими же точками схемы звезды равно:

U12=I1R1-I2R2.

Т.к. речь идет об эквивалентном преобразовании, то необходимо равенство напряжений между данными точками двух схем, т.е.

Это возможно при условии:

(25)

Третье выражение получено в результате круговой замены индексов.

Исходя из выражения (25) формулируется следующее правило:

Сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений сторон треугольника, прилегающих к этому лучу, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Выше было получено выражение для тока в стороне 1-2 треугольника в зависимости от токов I1 и I2. Круговой заменой индексов можно получить токи в двух других сторонах треугольника:

studfiles.net

Баланс мощностей в цепи переменного тока

Пусть источник ЭДС нагружен на сопротивление(рис. 3.25).

Рис. 3.25

Известна величина тока в цепи . Рассмотрим так называемыйсопряженный комплекс тока, аргумент которого (начальная фаза) имеет противоположный знак по сравнению с аргументом исходного тока.

Обозначим -комплексная мощность источника. Раскроем последнее выражение:

(3.27)

Таким образом, активная мощность источника равна действительной части комплексной мощности , а реактивная мощность – мнимой части.

Активная мощность приемников может быть записана с использованием комплексных действующих значений токов и комплексных сопротивлений как , а реактивная мощность -.

Математически баланс активных и реактивных мощностей в комплексной форме можно представить одним выражением. Так, для цепи с источниками ЭДС и тока оно имеет вид

или

. (3.28)

Рис. 3.26

Составим для цепи рис. 3.26 баланс мощностей в комплексной форме:

Общее условие возникновения резонанса напряжений.

Резонанс напряжений может возникать в цепях с последовательным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Примеры таких цепей приведены на рис. 6.2.

а)

б)

Рис. 6.2

Общее условие возникновения резонанса напряжений– равенство нулю входного реактивного сопротивления цепи.

Общее условие возникновения резонанса токов

Резонанс токов может возникать в цепях с параллельным соединением участков, содержащих индуктивности и емкости. Примеры таких цепей приведены на рис. 6.11.

а) б)

Рис. 6.11

Общее условие возникновения резонанса токов– равенство нулю входной реактивной проводимости цепи.

Расчет напряжения смещения нейтрали в несимметричной трехфазной цепи «Звезда-Звезда»

Несимметричный режим работы трехфазной цепи (при симметричном генераторе)обусловлен неравенством комплексных сопротивлений фаз нагрузки. В этом случае отдельные напряжения или токи трехфазной цепи не образуют симметричные системы, а в схеме “звезда – звезда без нулевого провода”, кроме того, появляется так называемоенапряжение смещения нейтрали(разность потенциалов между нулем генератора и нулем нагрузки).

. (7.56)

Системы прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Любая несимметричная трехфазная система токов, напряжений, ЭДС, магнитных потоков может быть представлена в виде суммы трех симметричных систем: прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз. Условимся обозначать величины прямой последовательности индексом “1”, обратной - “2” и нулевой - “0”.

Система прямой последовательностисостоит из трех векторов,,, равных по модулю и сдвинутых относительно друг друга на угол, причем векторотстает от векторана угол(рис. 8.3 а). Всистеме обратной последовательности(рис. 8.3 б) векторопережает вектор.Система нулевой последовательностиобразуется тремя одинаковыми векторами(рис. 8.3 в).

а) б) в)

Рис. 8.3

studfiles.net

Расчет цепей переменного тока

Расчет электрических цепей переменного синусоидального тока производится в комплексной форме. При этом величины синусоидальных ЭДС и токов представляются в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений, а все элементы в схеме – в виде комплексных сопротивлений.

Например, если ЭДС источника равна , то комплексная амплитуда запишется в виде- в показательной форме записи, или- в алгебраической форме. Комплексное действующее значение синусоидальной ЭДС:- в показательной форме записи, или- в алгебраической форме.

Комплексные сопротивления элементов электрической цепи переменного тока:

- для идеального сопротивления,

- для идеальной индуктивности,

- для идеальной емкости.

Далее расчет электрической цепи переменного тока можно вести любым методом, известным из раздела – «электрические цепи постоянного тока». При этом используется математический аппарат, разработанный для операций с комплексными числами.

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

- показательная форма,

- алгебраическая форма,

где и- действительная и мнимая часть комплексного значения синусоидальной величины. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется по формулам:

Переход от показательной формы к тригонометрической осуществляется по формуле Эйлера:

Сложение и вычитание комплексных величин производится в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной.

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин, сокращенно их называют комплексными значениями.

Расчет однофазных цепей

Расчет однофазных цепей переменного тока при наличии одного источника синусоидальной ЭДС производится методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим пример расчета однофазной цепи приведенной на рис.

Рис. 2.4. Схема электрической цепи к примеру расчета

Пример расчета однофазной цепи

По заданным значениям активных и реактивных сопротивлений и напряжению источника определить токи во всех ветвях схемы и падения напряжения на ее участках. Определить комплекс полной мощности, активную и реактивную мощность. Расчет произвести комплексным методом. Выполнить проверку правильности расчета с использованием баланса активных мощностей схемы. Построить векторную диаграмму. Построить мгновенные значения синусоидальных токов ветвей. Исходные данные для расчета приведены в таблице.

U, В	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	X1, Ом	X2, Ом	X3, Ом
100	50	100	100	50	50	100

Решение:

Электрическая цепь на рис. 2.4 состоит из трех ветвей, определим комплексные сопротивления ветвей. Сопротивление первой ветви, состоящей из сопротивления R1 и идеальной катушки индуктивности с комплексным сопротивлением:

Ом.

Сопротивление второй ветви, состоящей из сопротивления R2 и идеальной емкости с комплексным сопротивлением:

Ом.

Сопротивление третьей ветви, состоящей из сопротивления R3 и идеальной катушки индуктивности с комплексным сопротивлением:

Ом.

Вторая и третья ветвь соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление

Эквивалентное сопротивление всей схемы:

Ом.

Зная эквивалентное сопротивление, можно определить ток в первой ветви:

А.

Затем можно определить напряжения на участках цепи:

В,

В.

Зная напряжение на участке bc можно рассчитать токи

А,

А.

Проверку правильности расчета токов можно выполнить по первому закону Кирхгофа в комплексной форме:

, или

Так как первый закон Кирхгофа выполняется, значит, расчет токов выполнен верно.

Комплекс полной мощности:

где - сопряженный комплекс тока. ЕслиА, то сопряженный комплексА. Таким образом, комплекс полной мощности равен

ВА.

При этом действительная часть комплекса полной мощности равна активной мощности потребляемой схемой

Вт,

а мнимая часть комплекса полной мощности равна реактивной мощности схемы

ВА.

Векторная диаграмма токов и напряжений строиться на комплексной плоскости по координатам, полученным при расчете в комплексной форме. Токи и напряжения строятся в одних координатных осях, но для них выбираются разные масштабы. Диаграмма для рассчитанной схемы показана на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Векторная диаграмма токов и напряжений

Выражения для мгновенных значений токов можно получить из комплексных значений записанных в показательной форме:

А.

Действующее значение тока I1 = 0.724 А, а фазовый сдвиг, таким образом мгновенное значение тока равно

А.

Аналогично для остальных токов:

А.

Графики мгновенных значений токов приведены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Мгновенные значения токов

studfiles.net