Мощность на элементах электрической цепи при гармоническом воздействии. Чему равна активная мощность резистивного элемента

9. Идеальные элементы (резистивный, индуктивный и емкостный) в цепи переменного тока. Определения, основные соотношения и особенности цепи. Понятие об активной, реактивной и полной мощностях.

Резистивный элемент в цепи переменного тока

Резистивный элемент R , обладающий активным сопротивлением R [Ом], включен в сеть переменного тока i = Im Sin ωt на напряжение uR и потребляет от питающей сети некоторую мощность Р [Вт], которая преобразуется в другие виды энергии, т.е. в некоторую работу.

Поскольку в резистивном элементе по определению отсутствуют переменные электромагнитные поля то по закону Ома для участка цепи сила тока i = uR / R .

Тогда: где - амплитуда активного напряжения. Отсюда получаем выражение закона Ома для амплитудных значений:

Разделив обе части этого выражения на получим выражение закона Ома для действующих значений: или в комплексной форме: .

Из сравнения выражений для мгновенных значений напряжения и тока следует, что в цепи, содержащей резистивный элемент (или другими словами – в резистивном элементе), сдвиг фаз φR = Ψи - Ψi= 0, т.е. напряжение и ток в резистивном (активном) элементе совпадают по фазе или синфазны.

В резистивной цепи коэффициент мощности Cos φ R = 1, поэтому среднее значение электрической мощности за период или активная мощность в резистивной цепи равна полной мощности: Р = P cp = I U Cos φ R = I U = S - резистивная цепь потребляет от сети только активную мощность P = S.

Реактивная (обменная) мощность в резистивной цепи: Q = I U Sin φ R = 0 - в резистивной цепи отсутствует обмен реактивной энергией Q = 0.

2. Индуктивный элемент в цепи переменного тока

Индуктивный элемент L [Гн] (идеальная катушка) включен в сеть переменного тока i = Im Sin ωt на напряжение uL и участвует в обмене реактивной энергией Q L [ВАр] с питающей сетью.

Идеальная катушка (по определению) не имеет активного сопротивления R = 0 и в ней не происходит преобразования электрической энергии Р = 0. При этом такая катушка обладает свойством периодически запасать электрическую энергию в виде энергии переменного магнитного поля Q L и обмениваться ею с источником. Поскольку магнитное поле является переменным, то при его изменении в обмотке катушки будет наводиться переменная ЭДС самоиндукции: eL = - dd t = - L di /d t [В], где L = ddi [Гн] - индуктивность катушки.

По второму правилу Кирхгофа для такой цепи можно записать:

uL + eL ) =  iR = 0 uL + eLuL = - eL = L di /d t .

После подстановки получаем выражение для мгновенного значения индуктивного напряжения uL : ,

,где - амплитуда индуктивного напряжения.

Отсюда получаем выражение закона Ома для амплитудных значений:

Разделив обе части этого выражения на получим выражение закона Ома для действующих значений: ,здесь ωL - имеет размерность сопротивления [Ом] и называется индуктивным сопротивлением X L = ωL .

В таком случае закон Ома для индуктивной цепи можно записать:

Из сравнения выражений для мгновенных значений напряжения и тока следует, что в цепи, содержащей индуктивный элемент (или другими словами – в индуктивном элементе), сдвиг фаз φL = Ψи - Ψi= + 90 O, т.е. напряжение в индуктивном элементе опережает по фазе ток на четверть периода ( + /2 или + 90 O), а ЭДС находится в противофазе с индуктивным напряжением.

В индуктивной цепи коэффициент мощности Cos φ L = 0 , поэтому среднее значение электрической мощности за период или активная мощность равна нулю: Р = I U Cos φ L =0- индуктивная цепь не потребляет от сети активную мощность, следовательно, в ней не происходит преобразования электрической энергии в работу.

Реактивная (обменная) мощность в индуктивной цепи (индуктивная мощность) равна полной мощности: Q L = I U Sin φ L = I U = S - индуктивная цепь потребляет от сети только реактивную мощность Q L = S.

Ёмкостный элемент в цепи переменного тока Ёмкостный элемент С [Ф] (идеальный конденсатор) включен в сеть переменного тока i = Im Sin ωt на напряжение uС и участвует в обмене реактивной энергией Q С [ВАр] с питающей сетью.

Идеальный конденсатор (по определению) не имеет активного сопротивления R = 0 и в нем не происходит преобразования электрической энергии Р = 0. При этом такой конденсатор обладает свойством периодически запасать электрическую энергию в виде энергии переменного электрического поля Q C и обмениваться ею с источником. Из выражения для ёмкости можно записать:

,откуда после интегрирования получаем:

где - амплитуда ёмкостного напряжения.

Отсюда получаем выражение закона Ома для амплитудных значений: .

Разделив обе части этого выражения на получим выражение закона Ома для действующих значений: , здесь - имеет размерность сопротивления [Ом] и называется ёмкостным сопротивлением.

В таком случае закон Ома для ёмкостной цепи можно записать:

Из сравнения выражений для мгновенных значений напряжения и тока следует, что в цепи, содержащей ёмкостный элемент (или другими словами – в ёмкостном элементе), сдвиг фаз φС = Ψи - Ψi= - 90 O, т.е. напряжение в ёмкостном элементе отстает по фазе от тока на четверть периода ( -пи /2 или - 90 O).

В ёмкостной цепи коэффициент мощности Cos φ С = 0 , поэтому среднее значение электрической мощности за период или активная мощность равна нулю: Р = I U Cos φ С = 0 -ёмкостная цепь не потребляет от сети активную мощность, следовательно, в ней не происходит преобразования электрической энергии в работу.

Реактивная (обменная) мощность в ёмкостной цепи (ёмкостная мощность) равна полной мощности: Q С = I U Sin φ С = I U = S - ёмкостная цепь потребляет от сети только реактивную мощность Q С = S.

Понятие об активной, реактивной и полной мощностях.

В цепях переменного тока в связи с периодическим изменением электрического тока энергия электрических и магнитных полей периодически изменяется и между этими полями и источником электрической энергии происходит обратимый периодический процесс обмена электрической энергией. Скорость такого обратимого процесса обмена электрической энергией между источником и электрической цепью характеризуется понятием реактивная мощность Q [ ВАр], (Вольт-Ампер реактивный).

Одновременно в электрической цепи переменного тока происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепло, свет и другие виды энергии, т.е. в работу. Скорость такого необратимого процесса преобразования электрической энергии характеризуется понятием активная мощность Р [Вт], (Ватт).

Таким образом, в общем случае в цепи переменного тока одновременно происходят два процесса: процесс преобразования электрической энергии в другие виды (в работу) и процесс обратимого периодического обмена энергией между источником и цепью. Эти два одновременно протекающих процесса, накладываясь друг на друга, создают в цепи сложный единый энергетический процесс, для характеристики которого вводится понятие полная мощность S [ВА], (Вольт-Ампер).

Полученные энергетические соотношения могут быть условно представлены на плоскости в геометрической форме - в виде прямоугольного треугольника - треугольника мощностей, из которого могут быть получены дополнительные формулы, необходимые для выполнения электротехнических расчетов.

studfiles.net

Резистивный элемент

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, предназначенных для создания, транспортировки, потребления электрической энергии.

В электрических цепях следует выделить источники электрической энергии и приемники, которые соединяются между собой каналами связи или соединительными проводами.

Источникамиэлектрической энергии называютустройства, в которых, какой-либо вид энергии (механическая, световая, химическая и пр.) преобразуется в электрическую. Источниками электрической энергии являются генераторы, аккумуляторы, солнечные батареи и пр. Например, механическая энергия паровых турбин либо гидротурбин на электростанциях преобразуется в электрическую, в аккумуляторах – химическая энергия преобразуется в электрическую.

Приемниками электрической энергии называют устройства, в которых, электрическая энергия преобразуется в другой вид энергии. Приемниками электрической энергии являются двигатели, нагревательные элементы и пр.

Электромагнитные процессы в электрической цепи могут быть описаны с помощью понятий электродвижущей силы e(t), тока i(t), напряжения u(t) и др. В общем случае эти параметры электрической цепи являются функцией времени и их величины в произвольным момент времени называются мгновенными значениями.

Электрические цепи в которых ток I, напряжение U, электродвижущая сила E не являются функцией времени, называются цепями постоянного тока.

Одной из характеристик электрической цепи является потенциал φ.

Элементы электрической цепи

Любое электротехническое устройство может быть описано с помощью электрических схем, которые формируются с помощью идеализированных элементов. Они могут быть пассивными и активными. Пассивные элементы электрической цепи потребляют электрическую энергию, а активные – генерируют ее.

Пассивные элементы

К пассивным элементам относятся резистивный, индуктивный и емкостной элементы.

Резистивный элемент

Резистивным называют идеализированный элемент, в котором электрическая энергия преобразуется в тепловую или в другой вид полезной энергии.

Обозначение резистивного элемента в электрических схемах приведено на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Условное графическое обозначение

резистивного элемента

Количественной характеристикой резистивного элемента является сопротивление r (или R), либо величина обратная сопротивлению, называемая проводимостью . В системе СИ сопротивление измеряется в Омах [Ом], а проводимость - в Сименсах [См].

Функциональная зависимость между током i и напряжением u на зажимах резистивного элемента описывается законом Ома:

, .

Эта зависимость может быть оценена с помощью вольт-амперной характеристики (ВАХ), представленной на рисунке 1.2. В общем случае сопротивление резистивного элемента может быть функцией напряжения или тока.

Вольт-амперная характеристика имеет вид прямой линии, когда сопротивление резистивного элемента r не зависит от тока i и напряжения u, и нелинейная, когда r является функциональной зависимостью либо тока i либо напряжения u.

Резистивный элемент характеризуется мощностью.

Мгновенная мощность:

Средняя мощность, потребляемая резистивным элементом за промежуток времени T равна:

Рисунок 1.2 – Вольт-амперные характеристики резистивных

элементов

Для цепей постоянного тока средняя мощность определяется выражением:

Open Library - открытая библиотека учебной информации

Энергетика Активная мощность в цепи гармонического тока с индуктивностью равна нулю, поэтому ток в такой цепи полезной работы не совершает;
просмотров - 74

Мгновенная мощность образуется в нуль в точках, где ток и напряжение равны нулю, и достигает максимума в момент времени, когда ток и напряжение максимальны по абсолютному значению. Это означает, что движение энергии в цепи имеет односторонний характер – от источника к резистору.

Мгновенная мощность резистивного элемента всегда положительна, т.к. знаки тока и напряжения в любой момент времени одинаковы.

Среднее значение мощности резистивного элемента за период принято называть активной мощностью; оно равно произведению действующих значений напряжения и тока:

(3.57)

Активная мощность численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость потребления энергии от источнике.

Энергия, поступившая в резистивный элемент к произвольному времени t, может быть найдена как интеграл от мощности. Тогда с учетом выражения (3.5) полагая, что энергия, поступившая к моменту времени t = 0, равна , получаем.

Вывод:

Энергия, поступившая в резистивный элемент в произвольный момент времени является неубывающей функцией времени (рис . 3.21 г), причём в моменты времени, когда мгновенная мощность резистивного элемента принимает нулевые значения, на графике появляется горизонтальный участок. Следовательно, электрическая энергия в цепи гармонического тока с резистивным элементом непрерывно необратимо преобразуется в тепло; эта энергия доставляется в цепь от источника, к которому подключена цепь.

5.2. Индуктивный элемент

Пусть ток, протекающий через индуктивный элемент (рис. 3.24) изменяется по гармоническому закону:

(3.58)

Рисунок 3.24 - Индуктивный элемент

Найдём напряжение на индуктивном элементе. Связь между мгновенными значениями тока и напряжения на индуктивном элементе определяется законом электромагнитной индукции. Подставляя (3.58) в выражение этого закона, получаем:

(3.59)

Анализ выражения (3.59) позволит сделать следующие выводы:

1. При гармоническом внешнем воздействии напряжения на зажимах индуктивного элемента является гармонической функцией времени той же частоты, что и воздействующий то (рис.3.25 а)

(3.60)

Рисунок 3.25 а, б - Временные диаграммы тока и напряжения (а),

мощности и энергии (б) индуктивного элемента

2. Начальная фаза напряжения на 90о больше начальной фазы тока

(3.61)

3. Действующее значение напряжения на зажимах индуктивного элемента пропорционально действующему значению тока

(3.62)

Комплексный ток и комплексное напряжение определяются выражениями:

(3.63)

(3.64)

Рисунок 3.26 а, б, в - Векторные диаграммы тока и напряжения (а),

Комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости (в)

индуктивного элемента

Οʜᴎ изображаются на комплексной плоскости в виде пары векторов, длины которых в определённом масштабе равны действующим значениям напряжения и тока индуктивного элемента͵ причём вектор повёрнут относительно вектора на угол против часовой стрелки (рис. 3.26 а)

Используя выражения (3.63) и (3.64), находим комплексное сопротивление и комплексную проводимость индуктивности:

(3.65)

(3.66)

Сравнивая (3.65) и (3.66) с показательной и алгебраической формами записи комплексных сопротивления и проводимости , получаем модули и аргументы вещественную и мнимую части комплексного сопротивления и комплексной проводимости

На комплексной плоскости и изображаются векторами, ориентированными соответственно вдоль положительного или отрицательного направлениям мнимой оси (рис. 3.26 б, в).

Комплексная схема замещения индуктивного элемента приведена на рис. 3.27

Рисунок 3.27 - Комплексная схема замещения индуктивного элемента

Мгновенная мощность индуктивного элемента при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой равной (рис 3.25 б):

(3.67)

По причине того, что в индуктивном элементе отсутствует преобразование электрической энергии в другие виды энергии, его активная мощность равна нулю:

(3.68)

Энергия , запасённая в магнитном поле индуктивного элемента͵ определяется мгновенным значением тока:

(3.69)

Мгновенная энергия индуктивного элемента содержит постоянную и переменную составляющие, причём переменная составляющая изменяется во времени по гармоническому закону с частотой (рис. 3.26 в).

Выводы:

Из полученных соотношений (3.67) – (3.69) и графиков, изображённых на рис. 3.25 можно сделать выводы о характере движения энергии в цепи синусоидального тока с индуктивностью:

1. В цепи с индуктивностью энергетический процесс заключается в колебании энергии между цепью и источником без её необратимых преобразований в другие виды энергии; в течении первой четверти периода с ростом тока энергии от источника питания поступает в цепь, запасаясь в магнитном поле индуктивного элемента͵ в следующую четверть периода энергия магнитного поля по мере убывания значений тока убывает, полностью возвращаясь к источнику питания, и далее процесс повторяется;

2. Максимум энергии, накопленной в индуктивном элементе, совпадает с максимумом тока и определяется при заданной индуктивности амплитудой тока (3.69).

oplib.ru

itmo347 - Стр 5

4.Какие формы представления комплексных чисел используют для изображения синусоидальных функций?

5.Для каких математических операций используют алгебраическую и показательную форму комплексных чисел?

6.Что такое оператор поворота?

7.Что такое комплексная амплитуда (комплексное значение)?

8.Что такое векторная диаграмма?

2.1.4. Основные элементы и параметры электрической цепи.

В разделах 1.3 и 1.4 были рассмотрены основные элементы электрических цепей и их параметры. Приведённые там соотношения справедливы и на переменном токе, если в них в качестве ЭДС, напряжений и токов подставить соответствующие синусоидальные функции времени.

Резистивный элемент. При протекании синусоидального токаiR = Im sin(ωt + ψi ) по резистивному элементу на нём по закону Ома возника-

ет падение напряжения:
uR =Ri =RIm sin(ωt + ψi ) =Um sin(ωt + ψu )	(2.2)

Отсюда следует, что напряжение на резистивном элементе изменяется по синусоидальному закону с амплитудой Um = RIm и

начальной фазой равной начальной фазе тока ψu = ψi . Разделив

обе части выражения

для амплитуды на 2 , Рис. 2.4. получим соотношение для действующих зна-

чений тока и напряжения:

U = RI.

Представим ток и напряжение комплексными значениями:

I R = Iejψi ; U R =Uejψu .

Умножив комплексный ток I R наR, получим закон Ома для резистивно-

го элемента в комплексной форме:
RI R = RIejψi =Uejψi =UR	(2.3 а)

Отсюда ток в резистивном элементе в комплексной форме равен:

График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для резистивного элемента показаны на рис. 2.4, а иб.

Мгновенная мощность, рассеиваемая на резистивном элементе равна: pR = uRiR =Um sin(ωt + ψu )Im sin(ωt + ψi )=UI (1−cos 2ωt) ,

т.е. она изменяется во времени с двойной частотой и колеблется в пределах от нуля до 2UI . В любой момент времени значения тока и напряжения имеют одинаковый знак, поэтомуp ≥ 0 . Кривая изменения мощности показана

на рис. 2.4, а. Среднее за период значение мощности называется активной мощностью

	T	∫
P =	1	T	pR dt=UI= RI2 .	(2.4)
		0

Заштрихованная площадь на рис. 2.4, а соответствуетэлектрической энергии,

необратимо преобразуемой резистивным элементом в неэлектрические виды энергии.

Индуктивный элемент. Пусть через индуктивный элемент протекает токiL = Im sin(ωt + ψi ) . Тогда его потокосцепление равно:

Ψ= LiL =LIm sin(ωt + ψi ) = Ψm sin(ωt + ψi ) ,

аЭДС самоиндукции –

e	= − dΨ = −LI	m	d sin(ωt + ψi ) = −ωLI	m	cos(ωt + ψ	) .
L	dt	m	dt	m	i
	dt		dt

Отсюда напряжение на индуктивном элементе:

uL = −eL = ωLIm cos(ωt + ψi ) =.

=Um sin(ωt + ψi + π/ 2)=Um sin(ωt + ψu )

Следовательно, амплитуда и начальная фаза напряжения равны:

Um = ωLIm; ψu = ψi + π/ 2.

Разделив выражение для амплитуды на 2 , получим соотношение действующих значений напряжения и тока для индуктивного элемента:

U = ωLI= XL I,	(2.8)
где X L = ωL – величина, имеющая размерность сопротивления и называемая
индуктивным сопротивлением. Обратная величина	BL =1/X L =1/ωL назы-

вается индуктивной

проводимостью. Ве-

личина индуктивного сопротивления пропорциональна частоте тока протекающего через индуктивный элемент и физически обусловлена ЭДС самоиндукции, возникающей при его изме-

нении. При увеличении частоты её значение стремится к бесконечности, а на постоянном токе ( ω= 0 ) индуктивное сопротивление равно нулю. Индуктивное сопротивление и индуктивная проводимость являются параметрами индуктивного элемента.

Начальная фаза напряжения отличается от фазы тока на +π/ 2 , т.е.ток в индуктивном элементе отстаёт по фазе от напряжения на 90°.

Представим ток и напряжение комплексными значениями:

I L = Iejψi ; UL =Uejψu

Отсюда, пользуясь выражениями (2.7-2.8),получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента:

U L = ωLIej(ψi +π/ 2) = ωLIejψi ejπ/ 2 = jωLI L = jXL I L			(2.9	а)
Ток в индуктивном элементе в комплексной форме равен:
I L =	U	L /( jX L) = − jBLU L	(2.9	б)

Величины jX L и− jBL , входящие в выражение (2.9), называютсяком-

плексным индуктивным сопротивлением и комплексной индуктивной проводимостью.

Пользуясь выражениями (2.5)-(2.6)комплексное напряжение на индуктивном элементе можно выразить также через комплексное потокосцепление

U L = −EL = ωΨe j(ψi +π/ 2) = ωΨe jψi e jπ/ 2 =jωΨ .

График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для индуктивного элемента показаны на рис. 2.5, а иб.

Определим мгновенную мощность, поступающую в индуктивный элемент из внешней цепи:

pL =uLiL =Um sin(ωt + ψi + π/ 2) Im sin(ωt + ψi ) =

	U	m	I	m		π
=					cos		−cos(2ωt + π/ 2)	=UI sin 2ωt
		2				2

т.е. мгновенная мощность изменяется синусоидально с двойной частотой, поэтому её среднее значение за период равно нулю.

Энергия магнитного поля, соответствующая индуктивному элементу, равна:

w	=	Li	2	LI	2	2	(ωt + ψ	) =	LI	2	(1−cos 2ωt )
w	=	L =		m sin			(ωt + ψ	) =			(1−cos 2ωt )
L		2		2			i		2
		2		2					2

Она изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой от нуля до

LI 2 (рис. 2.5,а). В течение четверти периода, когда значения тока и напряжения имеют одинаковые знаки, мощность, соответствующая индуктивному элементу, положительна и энергия накапливается в магнитном поле (положительная заштрихованная площадь на рис. 2.5,а). В следующую четверть периода значения тока и напряжения имеют разные знаки и мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в магнитном поле, возвращается во внешнюю цепь. Причём во внешнюю цепь возвращается в точно-

ёмкостной проводимостью. Обратная величина

Рис. 2.6.

сти то количество энергии, которое было накоплено, и баланс энергии за половину периода нулевой. Таким образом, в индуктивном элементе происхо-

дят непрерывные периодические колебания энергии, соответствующие её обмену между магнитным полем и внешней цепью без каких-либопотерь.

Ёмкостный элемент. Если напряжение на выводах ёмкостного элемента изменяется синусоидальноuC =Um sin(ωt + ψu ) , то в соответствии с (1.9) ток

в нём:

i = CduC = CU		m	d sin(ωt + ψu )	= ωCU	m	cos(ωt + ψ	) =
C	dt	m	dt		m	u		, (2.10)
	dt		dt					, (2.10)

= ωCUm sin(ωt + ψu + π/ 2) =Im sin(ωt + ψi )

т.е. ток в ёмкостном элементе изменяется по синусоидальному закону с амплитудой и начальной фазой:

Im = ωCUm; ψi = ψu + π/ 2 .	(2.11)
Разделив выражение для амплитуды на 2 , получим соотношение дей-
ствующих значений напряжения и тока для ёмкостного элемента:
I = ωCU= BCU,	(2.12)

Величина BC = ωC , имеющая размерность проводимости, называетсяXC =1/BC =1/ωC называет-

ся ёмкостным сопротивлением. Физиче-

ски наличие ёмкостного сопротивления означает ограничение величины тока зарядаразряда ёмкостного элемента. Ёмкостное сопротивление, также как индуктивное, зависит от частоты приложенного напряжения, но, в отличие от

индуктивного, его значение равно бесконечности на постоянном токе и нулю при бесконечном значении частоты. Ёмкостное сопротивление и ёмкостная проводимость являются параметрами ёмкостного элемента.

Начальная фаза тока отличается от фазы напряжения на +π/ 2 , т.е.ток в ёмкостном элементе опережает по фазе напряжение на 90°.

Представим ток и напряжение комплексными значениями:

I C = Iejψi ; U C =Uejψu .

Отсюда, пользуясь выражениями (2.10)-(2.12),получим закон Ома в комплексной форме для ёмкостного элемента:


I	C	= ωCUej(ψu +π/ 2) = ωCUejψu ejπ/ 2 = jωCU		= jB U		. (2.13	а)
			C	C	C
			C	C	C
Падение напряжения на ёмкостном элементе:
		U C = − jXC I C = I C /( jBC )				(2.13	б)

Величины − jXC иjBC , входящие в выражение (2.13), называютсяком-

плексным ёмкостным сопротивлением и комплексной ёмкостной проводимостью.

График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для ёмкостного элемента показаны на рис. 2.6, а иб.

Определим мгновенную мощность, поступающую в ёмкостный элемент из внешней цепи:

pC =uCiC =Um sin(ωt + ψu ) Im sin(ωt + ψu + π/ 2) =

	U	m	I	m		π
=					cos		−cos(2ωt + π/ 2)	=UI sin 2ωt
		2				2

Энергия электрического поля, соответствующая ёмкостному элементу, равна:

w	=	Cu2	CU 2	2	(ωt + ψ	) =	CU 2	(1−cos 2ωt )
		C =	m sin
C		2	2		u		2

Она изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой от нуля до

CU 2 (рис. 2.6,а). В течение четверти периода, когда значения тока и напряжения имеют одинаковые знаки, мощность, поступающая в ёмкостный элемент, положительна и энергия накапливается в электрическом поле (положительная заштрихованная площадь на рис. 2.6,а). В следующую четверть периода значения тока и напряжения имеют разные знаки и мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в электрическом поле, возвращается во внешнюю цепь. Причём во внешнюю цепь возвращается в точности такое количество энергии, какое было накоплено, и баланс энергии за половину периода нулевой. Таким образом,в ёмкостном элементе происхо-

дят непрерывные периодические колебания энергии, соответствующие её обмену электрическим полем и внешней цепью без каких-либопотерь.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое идеальные элементы электрической цепи?

2.Как соотносятся по фазе ток и напряжение резистивного (индуктивного, ёмкостного) элемента?

3.Как изменяется во времени энергия, соответствующая резистивному (индуктивному, ёмкостному) элементу?

4.Что такое активная мощность и чему равно её значение для резистивного (индуктивного, ёмкостного) элемента?

5.Какие энергетические процессы связаны с протеканием переменного тока через резистивный (индуктивный, ёмкостный) элемент?

6.Чему равно индуктивное (ёмкостное) сопротивление при постоянном токе (при очень высокой частоте)?

7.Какой знак имеет комплексное индуктивное (ёмкостное) сопротивление (проводимость)?

8.Чему равно среднее значение мощности индуктивного (ёмкостного) элемента и почему?

9.В чём принципиальное отличие резистивного элемента от индуктивного и ёмкостного?

10.Во что преобразуется электрическая энергия соответствующая резистивному элементу электрической цепи?

2.1.5. Закон Ома. Пассивный двухполюсник.

Закон Ома устанавливает соотношение между током, протекающим по участку электрической цепи и падением напряжения на нём. Рассмотрим некоторый произвольный участок, подключённый к остальной цепи в двух точках и не содержащий источников электрической энергии. Такой участок цепи называется пассивным двухполюсником. Напряжение и ток в точках подклю-

чения двухполюсника называются входным напряжением и входным током.

Если эти величины представить в комплексной форме U =Ue jψu ,I = Ie jψi , то

их отношение

U	= Ue jψu =U e j(ψu −ψi ) =Ze jϕ =Z
I	= Ue jψu =U e j(ψu −ψi ) =Ze jϕ =Z
I	Ie jψi	I

Рис. 2.7.

(2.14)

будет комплексным числом, имеющим размерность сопротивления и называемым ком-

плексным сопротивлением.

Модуль комплексного сопротивления Z =U /I опреде-

ляет соотношение между действующими (амплитудными) значениями напряжения и тока

и называется полным сопротивлением.

Аргумент комплексного сопротивления ϕ = ψu −ψi определяет фазовое

соотношением между напряжением и током, т.е. сдвиг фаз между ними. Причём, для обеспечения правильного соотношения между начальными фа-

зами уголϕ должен отсчитываться от вектора тока(рис. 2.7, а). Тогда при опережающем напряжении сдвиг фаз будет ϕ > 0 , а при опережающем токе – ϕ< 0

Комплексное сопротивление можно представить также в алгебраической форме:

Z = R+ jX.

Вещественная часть комплексного сопротивления называется активным сопротивлением, а мнимая –реактивным сопротивлением. Активное сопро-

тивление всегда положительно, а реактивное может иметь любой знак. Если составляющие комплексного сопротивления изобразить векторами на плоскости, то активное, реактивное и полное сопротивления образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником сопротивлений (рис. 2.7,б). Для компонентов этого треугольника справедливы соотношения:

Z =R2 +X 2 ; ϕ =arctg	X	.

	R

Таким образом, сдвиг фаз между током и напряжением на участке цепи определяется соотношением реактивного и активного сопротивлений. При отсутствии активной составляющей фазовый сдвиг, как следует из закона Ома для рассмотренных выше идеальных элементов цепи, составляет +90° при индуктивном характере реактивного сопротивления и –90° при ёмкостном характере. Наличие активной составляющей определяет для фазового смещения секторы: 0 < ϕ< 90° при активно-индуктивном характере комплексного сопротивления и 0 > ϕ > 90° при активно-ёмкостном характере. При отсутствии реактивной составляющей комплексного сопротивления сдвиг фаз между током и напряжением отсутствует, т.е. ϕ = 0 .

Если в выражении (2.14) представить комплексное сопротивление в ал-

гебраической форме:
U = I Z = I (R+ jX) = IR+ jI X=U а +Uр	(2.15)

то комплексное напряжение на входе двухполюсника можно разделить на две составляющие. Одна из них U а = IR совпадает по направлению с вектором

тока и называется комплексным активным напряжением. Вторая U р = jI X–

перпендикулярна току и называется комплексным реактивным напряжением

(рис. 2.7, а). Соотношение тока и напряжения в выражении (2.15) соответствует схеме, приведённой на рис. 2.7,в. На ней составляющие комплексного сопротивления представлены в виде последовательного соединения, назы-

ваемого последовательной схемой замещения. Активное напряжение в этой

схеме соответствует напряжению на активном сопротивлении, а реактивное – на реактивном сопротивлении.

Для составляющих комплексного напряжения очевидны соотношения:

Uа =U cosϕ;			Uр =U sinϕ;
U = Uа	2 +Uр	2 ;	ϕ = arctg	Uр	(2.16)
				Uа

причём активное напряжение может быть только положительным, а знак реактивного напряжения определяется знаком фазового сдвига ϕ.

Вектор напряжения вместе с активной и реактивной составляющими образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряже-

ний.

Так же как в цепи постоянного тока, соотношение между током и напряжением на входе двухполюсника можно определить с помощью понятия проводимости:

Ie jψi

e j(ψi−ψu)

=Ye−jϕ=Y

(2.17)

Ue jψu

где Y =1/Z – комплексная проводимость;Y =1/Z = I /U – модуль комплекс-

ной проводимости, называемый полной проводимостью;ϕ = ψu −ψi

– аргу-

мент комплексной проводимости.

Если в выражении (2.17) представить комплексное сопротивление в ал-

гебраической форме:

Y =

− j

= G− jB,

(2.18)

R + jX

R2 + X2

R2+

X 2

то мы получим выражения для вещественной и мнимой части комплексной

проводимости.					Вещественная	часть	комплексной	проводимости
G =	R		=	R	называется	активной	проводимостью, а мнимая
G =	R2+	X 2	=	Z 2	называется	активной	проводимостью, а мнимая
	R2+	X 2		Z 2
B =	X		=	X	– реактивной. Следует заметить, что активная и реактив-
B =	R2+	X 2	=	Z 2	– реактивной. Следует заметить, что активная и реактив-
	R2+	X 2		Z 2

ная проводимости, в отличие от комплексной и полной проводимости, не яв-

ляются обратными величинами активного и реактивного сопротивлений.

Каждая из составляющих комплексной проводимости зависит от обеих составляющих комплексного сопротивления.

Комплексная проводимость и её составляющие образуют на комплексной плоскости прямоугольный треугольник, называемый треугольником проводимостей (рис. 2.7,д). Для компонентов этого треугольника справед-

ливы соотношения:		B
Y = G2 + B2 ;	ϕ = arctg	B	.
Y = G2 + B2 ;	ϕ = arctg		.
		G
	48

Из выражения (2.18) можно определить составляющие комплексного сопротивления через составляющие комплексной проводимости:

R =	G	=	G	; X =	B	=	B	.
	G2+ B2		Y 2		G2+ B2
							Y 2

Пользуясь понятием комплексной проводимости, можно разделить комплексный ток на входе двухполюсника на две составляющие, аналогично выполненному ранее разделению комплексного напряжения:

I =	U	Y =	U	(G −jB)=I а +I р	(2.19)

где I а =UG– вектор комплексного активного тока,					совпадающий по на-

правлению с вектором напряжения; I р = − jUB – векторкомплексного реак-

тивного тока, перпендикулярный вектору напряжения (рис. 2.7,г). Соотношение тока и напряжения в выражении (2.19) соответствует схеме, приведённой на рис. 2.7,е. На ней составляющие комплексной проводимости представлены в виде параллельного соединения, называемогопараллельной схемой замещения. Активный ток в этой схеме соответствует току, протекающему через элемент с активной проводимостью, а реактивный – с реак-

тивной проводимостью.
Для составляющих комплексного тока очевидны соотношения:
Iа = I cosϕ;		Iр = I sinϕ;
I = Iа2 + Iр	2 ;	ϕ = arctg	Iр	(2.20)
I = Iа2 + Iр	2 ;	ϕ = arctg	Iа
			Iа

причём активный ток может быть только положительным, а знак реактивного тока определяется знаком фазового сдвига ϕ.

Вектор тока вместе с активной и реактивной составляющими образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником токов. Треугольники сопротивлений, напряжений, проводимостей и токов подобны друг другу, т.к. являются различными формами представления соотношения между током и напряжением на участке цепи, выражаемого законом Ома. Отличие треугольников сопротивлений и проводимостей от других треугольников заключается в том, что они строятся всегда в правой полуплоскости, т.к. активное сопротивление и проводимость всегда вещественны и положительны.

Активное и реактивное сопротивление, а также активная и реактивная проводимость являются параметрами двухполюсника. Последовательная и параллельная схемы замещения (рис. 2.7,в ие) полностью эквивалентны друг другу и используются при анализе электрических цепей в соответствии

сконкретными условиями задачи.

Вобщем случае ток и напряжение на входе двухполюсника смещены по

фазе друг относительно друга на некоторый угол ϕ. Пустьu =Um sin(ωt + ψu ) иi = Im sin(ωt + ψu −ϕ) (рис. 2.8). Скорость поступления энергии в двухпо-

Рис. 2.8.

люсник в каждый момент времени или, что то же самое, мгновенное значение мощности равно:

p =ui =Um Im sin(ωt + ψu )sin(ωt + ψu −ϕ) =

=	UmIm	cosϕ−cos(2ωt −ϕ) =UI cosϕ−UI cos(2ωt −ϕ) (2.21)
=		cosϕ−cos(2ωt −ϕ) =UI cosϕ−UI cos(2ωt −ϕ) (2.21)
2
			Из	выражения
			(2.21) следует, что
			мощность имеет по-
			стоянную	состав-
			ляющую	UI cosϕ и

переменную, изменяющуюся с двойной частотой. Положительная мощность соответствует поступлению энергии из внешней цепи в двухполюсник, а

отрицательная – возврату энергии во внешнюю цепь. Так как мощность определяется произведением тока и напряжения, то потребление энергии двухполюсником происходит в интервалы времени, когда обе величины имеют одинаковый знак (рис. 2.8, а). Баланс поступающей и возвращаемой энергии соответствует среднему за период значению мощности или

активной мощности:

T		∫
P =	1	T	p dt =UIcosϕ =UIа =UаI= RI2 = GU2 .	(2.22)
		0

Активная мощность – это мощность, которая преобразуется в двухполюснике в тепловую или другие виды неэлектрической энергии, т.е. в большинстве случаев это полезная мощность. Выражение (2.22) поясняет физический смысл понятий активный ток и активное напряжение. Они соответствуют той части тока или напряжения, которая расходуется на преобразование энергии в двухполюснике. Выражения для активной мощности позволяют также определить активное сопротивление и проводимость, как параметры интенсивности преобразования энергии двухполюсником. Активная мощность измеряется в ваттах [Вт].

Все технические устройства рассчитываются на работу в определённом (номинальном) режиме. Проводники рассчитываются на определённый ток, изоляция на определённое напряжение. Поэтому мощность, приводимая в технических данных и определяющая массогабаритные показатели и стоимость изделия, соответствует произведению действующих значений тока и напряжения и называется полной или кажущейся мощностью:

studfiles.net

Мощность на элементах электрической цепи при гармоническом воздействии

Ранее были рассмотрены напряжения и токи на элементах R, L, C. Выявлены связи между ними, в том числе сдвиг по фазе между током и напряжением. С физической точки зрения важно рассмотреть энергетические соотношения. С этой целью рассмотрим мгновенную мощность:

P(t) – мгновенная мощность.

Для резистора:

т.е.

Из выражения следует, что мгновенная мощность резистора в любой момент времени больше нуля, либо равна нулю в точках, где и равны нулю. Аналитическое выражение для мгновенной мощности содержит два слагаемых, одно из которых не зависит от времени , а второе – является гармонической функцией времени, изменяющейся с двойной частотой . Следовательно, в любой момент времени резистор является потребителем мощности, которая преобразуется в нём в тепло. Удобнее пользоваться средним за период тока (напряжения) значением этой мощности. По определению среднее значение определяется

Т.е. в среднем за период в резисторе выделяется мощность .

Рис.4.14.

Рассмотрим мгновенную мощность для индуктивности с учётом полученных ранее соотношений для тока и напряжения.α

Рис.4.15.

Из рисунка 4.15. видно, что мгновенная мощность для индуктивности является гармонической функцией времени, изменяющейся с двойной, по отношению к току (напряжению) частотой. не содержит постоянной составляющей. Это приводит к тому, что средняя за период мощность = 0.

С физической точки зрения для моментов времени, когда электрическая энергия поступает в индуктивность из цепи, к которой индуктивность подключена и накапливается в магнитном поле индуктивности в виде магнитной энергии. В моменты времени, когда , накопленная магнитная энергия возвращается индуктивностью обратно в электрическую цепь (в эти моменты индуктивность является источником электрической энергии). Здесь важно отметить, что в данном случае энергия не уходит безвозвратно, а лишь перераспределяется между её элементами.

Рис.4.16.

Рассмотрим мгновенную мощность для ёмкостного элемента. Анализ аналогичен, как и для индуктивного элемента.

Так же как и для индуктивности, электрическая энергия, накопленная в электрическом поле конденсатора (для ), не уходит безвозвратно, а возвращается обратно в электрическую цепь, подключённую к конденсатору, когда .

Рассмотрим энергетические процессы в двухполюснике. С этой целью проанализируем кривую мгновенной мощности

Рис.4.17.

Полученное выражение позволяет сделать следующие выводы:

1) Активное сопротивление двухполюсника может быть только положительным, т.е. ;

2) , т.е. ;

3) может принимать как положительное так и отрицательное значение.

(1) слагаемое не зависит от времени и численно равно сумме мощности. (2) слагаемое является гармонической функцией с удвоенной частотой. Таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составляющие: постоянную , не изменяющуюся во времени, и переменную , изменяющуюся периодически с частотой .

Вследствие этого, мгновенное значение мощности также изменяется с двойной частотой. При этом мощность положительна, если напряжение и ток совпадают по направлению, и отрицательна, если напряжение и ток имеют разные знаки.

Средняя мощность характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника в нагрузку и её преобразование в другие виды энергии, т.е. активный необратимый процесс. Поэтому среднюю мощность называют активной мощностью.

Амплитуду переменной составляющей мгновенной мощности , изменяющейся с двойной частотой называют полной мощностью и обозначают .

То, что, значения мгновенной мощности принимают отрицательные значения, свидетельствует об изменении направления передачи электроэнергии, т.е. об обмене электроэнергией между источником и приёмником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называют реактивной. Т.е. мгновенная мощность представляет собой гармоническую кривую, сдвинутую вверх относительно горизонтальной оси. Для момента времени, когда , энергия поступает из внешней цепи в двухполюсник, внутри которого она преобразуется в тепло (в резисторах) и накапливается в магнитных полях катушек индуктивностей и электрических полях конденсаторов (она не возвращается в сеть, а перераспределяется между L и C).

Для моментов времени, когда , энергия возвращается из двухполюсника во внешнюю цепь. Причём не вся энергия возвращается во внешнюю цепь, часть преобразуется в тепло (в резисторах), накапливается в L и C.

Обмен связан с реактивными составляющими сопротивлений, которые периодически накапливают энергию, а затем возвращают её источнику. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуют реактивной мощностью.

Соотношение между полной, активной и реактивной мощностями получают из:

или

Раздел 5

Лекция№7

Теория / ТОЭ / Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока.

Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:

(1)

Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:

(2)

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:

(3)

Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.

Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью.

Принимая во внимание, что , из (3) получим:

(4)

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника. Случай Р=0,теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.

1. Резистор (идеальное активное сопротивление).

Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощностьвсегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

2. Катушка индуктивности (идеальная индуктивность)

При идеальной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Поэтому в соответствии с (3) можно записать.

Участок 1-2: энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, возвращаясь в источник.

3. Конденсатор (идеальная емкость)

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (3) вытекает, что. Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления ХL и ХС , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

(5)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка-). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называютвольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем:

, так как .

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

Полная мощность

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности:

(6)

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением:

(7)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,

(8)

Комплексная мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а. Тогда комплекс полной мощности:

(9)

где- комплекс, сопряженный с комплексом.

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

Применение статических конденсаторов для повышения cos

Как уже указывалось, реактивная мощность циркулирует между источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, следовательно, к завышению его установленной мощности. В этой связи понятно стремление к увеличениюв силовых электрических цепях.

Следует указать, что подавляющее большинство потребителей (электродвигатели, электрические печи, другие различные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный характер.

Если параллельно такой нагрузке (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток, как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е.увеличивается, а общая величина тока (а следовательно, потери) уменьшается при постоянстве активной мощности. На этом основано применение конденсаторов для повышения.

Какую емкость С нужно взять, чтобы повысить коэффициент мощности от значения до значения?

Разложим на активнуюи реактивнуюсоставляющие. Ток через конденсаторкомпенсирует часть реактивной составляющей тока нагрузки:

;

(10)

;

(11)

(12)

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

но , откуда необходимая для повышенияемкость:

(13)

Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

а) Постоянный ток

Для любой цепи постоянного тока выполняется соотношение:

(14)

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют знак “+”, поскольку активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены здесь могут иметь знак “-”, что говорит о том, что соответствующие источники работают в режиме потребителей энергии (например, заряд аккумулятора).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

(15)

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это доказательство опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

(16)

где знак “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным.

Умножив (16) на “j” и сложив полученный результат с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета взаимной индуктивности):

или

Литература

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

Что такое активная мощность?
Что такое реактивная мощность, с какими элементами она связана?
Что такое полная мощность?
Почему необходимо стремиться к повышению коэффициента мощности ?
Критерием чего служит баланс мощностей?
К источнику с напряжением подключена активно-индуктивная нагрузка, ток в которой. Определить активную, реактивную и полную мощности.

Ответ: Р=250 Вт; Q=433 ВАр; S=500 ВА.

В ветви, содержащей последовательно соединенные резистор R и катушку индуктивности L, ток I=2 A. Напряжение на зажимах ветви U=100 B, а потребляемая мощность Р=120 Вт. Определить сопротивления R и XL элементов ветви.

Ответ: R=30 Ом; XL=40 Ом.

Мощность, потребляемая цепью, состоящей из параллельно соединенных конденсатора и резистора, Р=90 Вт. Ток в неразветвленной части цепи I1=5 A, а в ветви с резистором I2=4 A. Определить сопротивления R и XL элементов цепи.

Ответ: R=10 Ом; XС=7,5 Ом.

studfiles.net